書き出しと計算のどちらを選ぶか｜中学受験場合の数

場合の数で最初に決めるのは、解き方ではなく「どちらの道具を使うか」です。

書き出すか、計算するか

この判断を間違えると、時間が足りなくなったり、数え漏らしたりします。

3つの判断基準

状況	選ぶ道具
20通りくらいまで	書き出し
条件が複雑（〜は除く、〜のとき）	書き出し（または併用）
数が大きく、規則がはっきりしている	計算

迷ったら、まず少しだけ書き出してみる——それで規則が見えたら計算に切りかえます。

やってみる1：小さいので書き出す

1・2・3の3枚のカードを並べて3けたの整数を作ります。全部で何通りですか。

小さい数から順に書き出します。

6通りです。

【検算1】計算でも確かめます。百の位は3通り、十の位は残り2通り、一の位は1通り。

一致 ○

【検算2】百の位ごとに数えます。1で始まるもの2個、2で始まるもの2個、3で始まるもの2個。

どの位で分けても6 ○

やってみる2：大きいので計算する

1・2・3・4・5の5枚から3枚を選んで並べ、3けたの整数を作ります。何通りですか。

60通り以上になりそうです。書き出すのは現実的ではありません。

60通りです。

【検算1】百の位ごとに分けます。百の位が1のものは、残り4枚から2枚を並べるので

百の位は5通りあるので

一致 ○

【検算2】百の位が1のものだけ、少し書き出してみます。

十の位が2のとき3個、3のとき3個、4のとき3個、5のとき3個で12個 ○　部分を確かめれば全体も信用できます。

やってみる3：条件つきは併用する

1・2・3・4の4枚から3枚を選んで並べ、3けたの偶数を作ります。何通りですか。

計算で解く

偶数なので一の位は2か4——2通り。残り3枚から2枚を並べるので

12通りです。

書き出しで確かめる

一の位が2のもの（十の位を小さい順に）

一の位が4のもの

6＋6＝12通り ○　計算と一致しました。

【検算】全体との関係でも確かめます。4枚から3枚を並べるのは

一の位は1・2・3・4が同じ回数ずつ来るので、偶数はちょうど半分。

一致 ○　3つの方法で同じ答えになりました。

書き出すときのルール

書き出しで失敗するのは、順番を決めずに思いついた順で書くときです。

小さい順・辞書の順など、必ず順序を決める

そうすれば漏れも重複も起きません。樹形図を使うのも同じ理由です。

選ぶだけの問題では2で割る

A・B・C・D・Eの5人から2人を選びます。何通りですか。

並べるなら 通り。しかし「AとB」と「BとA」は同じなので

10通りです。

【検算】順序を決めて書き出します。

10通り ○　Aから始まるもの4個、Bから3個、Cから2個、Dから1個。

足し算でも10 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「どちらを選ぶか」は解法ではないから

授業では樹形図の書き方やかけ算での求め方を、それぞれ学びます。

ところが本番で必要なのはどちらを使うかの判断です。これは解法そのものではないため、扱われる場面が作られにくいのです。

2. 「順序を決めて書く」が当たり前とされやすいから

樹形図は自然に順序が決まる書き方です。だから「順序を決める」という原則が言葉にされにくい。

樹形図を使わずに書き出すと、とたんに漏れが出ます。原則を意識しているかどうかで差がつきます。

3. 「同じものを2回数えていないか」の確認が難しいから

並べるのか選ぶのか——2で割るかどうかは問題文の読み取りで決まります。

この判断は組み合わせの考え方にあたり、小学校の配当では踏み込みにくい部分です。小さい例で書き出して確かめるのが確実な方法になります。

【検算】3つの方法

1. 書き出しと計算の両方でやる

小さい問題なら必ず両方——これが最強の検算です。

【検算】3枚のカード：書き出し6通り、計算も6通り ○

2. 一部だけ書き出して規則を確認する

全部でなくてよいのがポイントです。

【検算】百の位が1のものだけ数えて12個 ○

3. 全体との関係を見る

【検算】偶数12通りは、全24通りのちょうど半分 ○

よくあるミス

ミス1：順序を決めずに書き出す

小さい順など、規則を決めます。

ミス2：書き出せる量なのに計算で迷う

20通りまでなら書いたほうが速いことも多いです。

ミス3：書き出せない量を書き出そうとする

時間切れになります。見当をつけてから始めます。

ミス4：並べると選ぶを混同する

順番が関係するかを確認します。

ミス5：条件を最後に確認しない

偶数・0を使わないなどの条件を見落とさないように。

ミス6：数え終わったあと検算しない

別の分け方でもう一度数えます。

練習問題

1. 1・2・3の3枚で作れる3けたの整数を、すべて書き出しなさい。
2. 1の個数を計算でも求めなさい。
3. 1〜5の5枚から3枚を選んで並べる場合の数を求めなさい。
4. 3で百の位が1のものが何通りか求めなさい。
5. 1〜4の4枚から3枚を並べてできる3けたの偶数の個数を求めなさい。
6. 5を「全体の半分」として検算しなさい。
7. 5人から2人を選ぶ場合の数を、計算と書き出しの両方で求めなさい。

解答

1. 123・132・213・231・312・321の6通り
2. 6通り
3. 60通り
4. 12通り
5. 12通り
6. ○
7. 、書き出しでも10通り ○

まとめ

• 20通りくらいまでは書き出す
• 条件が複雑なら書き出し（または計算と併用）
• 大きくて規則的なら計算
• 書き出すときは必ず順序を決める
• 選ぶだけなら2で割る（並べる場合との違い）
• 検算は両方の方法／一部を書き出す／全体との関係

場合の数は「数え方を工夫する」分野です。計算で一気に出すのがかっこよく見えますが、入試では確実さのほうが大切。書き出せる量なら書き出して、計算の答えと合っているか確かめる——この習慣が、いちばん点数を守ってくれます。