媒介変数表示の微分の手順｜数III微分法

媒介変数表示の微分は公式1つで済みます。つまずくのは第2次導関数のほう。

もう一度 で割る

これを忘れると、まったく違う答えになります。

結論： を で割る

、 のとき

答えは の式のままでかまいません。 の式に直す必要はありません（直せないことも多い）。

なぜ割り算なのか

連鎖律です。 は を通して につながっているので

両辺を で割れば公式になります。新しい公式ではありません。

やってみる1：サイクロイド

、 のとき を求めよ。

それぞれ で微分します。

割って

【検算1】 で計算します。

したがって 。公式でも ○

【検算2】 では

接線が水平です。実際 で最大値なので、そこで水平になるのは正しい ○

【検算3】 では なので定義されません。サイクロイドはここで尖った点になります ○

やってみる2：円

、 のとき を求めよ。

【検算1】 では なので 。

この点は 。円の接線は半径と垂直なので、傾きは

一致 ○

【検算2】 を両辺 で微分すると 、つまり

まったく同じ ○　媒介変数を消しても同じ結果になります。

第2次導関数：もう一度割る

で微分したあと、もう一度 で割る——ここが要です。

なぜもう一度割るのか

第2次導関数は を で微分したものです。ところが手元にあるのは の式。

だからもう一度、同じ変換（ で微分して で割る）が必要になります。

やってみる3：、

第1次

第2次

まず を で微分します。

これを で割ります。

検算する

【検算1】 では より 。したがって

直接微分すると

一致 ○　さらに

一致 ○

【検算2】誤った公式と比べます。もし としたら

とはまったく違います ○　この公式は誤りです。

【検算3】 で確かめます。正しい値は 、誤った公式では3。4倍違う ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 第2次導関数の手順が第1次と似ていて混同しやすいから

第1次は「 で微分して割る」、第2次は「その結果を で微分して、また割る」。

似ているぶん2回目の割り算を落としやすい。しかも形としてはそれらしい答えになるので、自分では気づけません。

2. 「答えは の式でよい」が明示されにくいから

ふつうの微分では答えは の式です。だから のまま残すことに違和感が出ます。

しかし媒介変数表示では を消せないことが多い（サイクロイドがまさにそう）。 の式のままが正しい答え——この一言があると迷いません。

3. 連鎖律との関係が示されにくいから

公式は を移項しただけです。

ところが独立した公式として提示されると、覚えるべき式が増えたように見える。連鎖律の変形だと分かれば、第2次導関数の形も自分で導けます。

【検算】3つの方法

1. を消去して直接微分する

消去できる場合は最も確実です。

【検算】 → 。微分して ○

2. 特別な で図形的に確認する

接線が水平・垂直になる点で確かめます。

【検算】サイクロイドの ：最高点なので ○

3. 誤った公式と比べて違いを見る

は誤りです。値が違うことを確認します。

【検算】：正しい と誤り ○

よくあるミス

ミス1：第2次で2回目の割り算を忘れる

最頻出です。 でもう一度割ります。

ミス2： を使う

誤りです。2階微分どうしの比ではありません。

ミス3：分母と分子を逆にする

です。 が分子。

ミス4： の点を無視する

定義されません。尖点や垂直な接線になります。

ミス5：無理に の式に直そうとする

の式のままでよい場合がほとんどです。

ミス6： の範囲を確認しない

を除くなどの条件を書きます。

練習問題

1. 、 の を求めなさい。
2. 1で と の値を求めなさい。
3. 、 の を求めなさい。
4. 、 の を求めなさい。
5. 4の を求めなさい。
6. 4・5を 消去で検算しなさい。
7. が誤りであることを、4の例で確かめなさい。

解答

1. （）
2. で1、 で0。検算： は最高点で水平 ○
3. （）。検算： と一致 ○
4. （）
6. より ○、 ○
7. となり と違う。 で3 と ○

まとめ

• （連鎖律の変形）
• 答えは の式のままでよい
• 第2次は で微分して、もう一度 で割る
• は誤り
• の点では定義されない
• 検算は 消去／図形的に確認／誤った公式と比較

媒介変数表示は「時間を変数にして、動きを記述する」ための道具です。だから物理でそのまま使われる。 は速度の 成分、 は 成分。その比が軌道の傾き——そう考えると、割り算になる理由も自然に見えてきます。