部分積分でどちらを微分するか迷う｜数III積分法

部分積分で迷うのは1点だけ。どちらを微分する側にするか。

基準は単純です。

微分すると簡単になるほうを、微分する

結論：公式と選び方

が微分される側、 が積分される側です。

優先順位

順位	関数	理由
1		そのままでは積分できない
2	多項式（）	微分すると次数が下がる
3	三角関数・指数関数	微分しても複雑にならない

上にあるものを微分する側にします。 が入っていたら迷わずそれ。

なぜこの公式なのか

積の微分を積分しただけです。

両辺を積分すると

移項して

新しい公式ではありません。積の微分の逆です。

やってみる1：

は微分すると1——ぐっと簡単になります。 は積分しても のまま。

だから 、。

【検算】微分して戻します。

一致 ○

逆に選ぶとどうなるか

もし 、 とすると 。

次数が上がって、もっと難しくなりました。選び方が逆だと分かります。

【検算】元は （1次）、変形後は （2次）。複雑化 ○

やってみる2：

、 なので 。

【検算】微分します。

一致 ○　 が打ち消し合いました。

やってみる3：

は、そのままでは積分できません。だから微分する側にするしかない。

相方がないので と考えます（）。

【検算】微分します。

一致 ○

と置く——この発想は を積分するときの定石です。

やってみる4：2回使う

を求めよ。

、。

残った積分は、やってみる1の2倍です。

したがって

【検算】微分します。

一致 ○

【検算2】次数が下がっているか。 定数。2回で終わるのは正しい ○

やってみる5：循環して戻る型

を求めよ。

どちらを選んでも簡単になりません。それでも2回使うと、もとの形が現れます。

求める積分を とおきます。

右の積分にもう一度使うと

代入して

方程式として解く——これが循環型の処理です。

【検算】微分します。

一致 ○　 が打ち消し合いました。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 選び方の基準が言語化されにくいから

公式そのものは1行です。ところがどちらを にするかは問題ごとの判断。

「微分すると簡単になるほう」という基準は言えますが、公式の内容ではないので、明示されにくい。優先順位の表を1つ持っておくだけで、迷いが消えます。

2. の扱いが特殊に見えるから

では相方がないのに と置く——これは初見では思いつきません。

しかし理由は明快で、 をそのまま積分する方法がないから微分する側に回すしかない。この必然性が示されると、暗記でなくなります。

3. 循環型が発展扱いになりやすいから

は「同じ形が戻ってきたら方程式として解く」という別の発想が要ります。

この型は応用問題として後ろに置かれやすいため、2回使っても終わらないときに手が止まりがちです。戻ってきたら勝ち——そう知っていれば慌てません。

【検算】3つの方法

1. 微分して戻す

絶対的な検算です。積の微分を使います。

【検算】 を微分して ○

2. 選択を逆にして複雑になるか確かめる

正しい選び方なら、逆は必ず複雑になります。

【検算】 だと が出て次数が上がる ○

3. 定積分は数値積分と比べる

【検算】。数値積分でも1 ○

よくあるミス

ミス1：微分する側を逆にする

複雑になったら選び直します。

ミス2： を求めるとき積分定数をつける

途中の には不要です（最後に をつけます）。

ミス3：マイナスを落とす

のマイナスを忘れがちです。

ミス4： を積分しようとする

微分する側にします。 と置きます。

ミス5：循環型で を移項し忘れる

方程式として解きます。。

ミス6：定積分で の部分に区間を入れ忘れる

です。

練習問題

1. を求めなさい。
2. を求めなさい。
3. を求めなさい。
4. を求めなさい。
5. 4の答えを微分して検算しなさい。
6. を求めなさい。
7. どちらを微分する側にするかの基準を答えなさい。

解答

2. 。検算：微分して ○
3. （ と置く）
5. ○
6. より
7. 微分すると簡単になるほう（ → 多項式 → 三角・指数の順）

まとめ

• （積の微分の逆）
• 選び方は微分すると簡単になるほうを
• 優先順は → 多項式 → 三角・指数
• は と置く
• 多項式は次数の数だけ繰り返す
• 同じ形が戻ったら方程式として解く
• 検算は微分して戻す／逆の選択と比べる／数値積分

部分積分は「積分できない形を、積分できる形に取り替える」操作です。難しさをそっくり移すのではなく、少しずつ簡単な方へ移していく。だから「微分すると簡単になるほう」を選ぶ。方針が分かれば、迷う場面は消えます。