チェバ・メネラウスの覚え方と使い分け｜数A図形の性質

チェバとメネラウスは式の形がそっくりです。どちらも「比を3つかけて1」。だからどっちを使うのか分からなくなる。

見分け方は1つだけです。3本の線が1点で交わっていればチェバ、1本の直線が横切っていればメネラウス。図を見れば決まります。

結論：形は同じ、使う場面が違う

	チェバ	メネラウス
図の特徴	3本が1点で交わる	1本の直線が横切る
分点の位置	3辺の上（内部）	1つは辺の延長上
式	（同じ形）

式が同じなので、覚えるのは1つで済みます。あとは「どの三角形とどの直線で使うか」を決めるだけ。

覚え方：一周して戻る

頂点と分点を交互にたどって、一周すると書けます。

A → R → B → P → C → Q → A

この順に読んで、2つずつ分数にするだけ。

前の分母と次の分子が同じ文字で始まる——しりとりになっています。RB→BP、PC→CQ、QA→（先頭の）AR。

どこから出発してもかまいません。一周して戻れば必ず1になります。

なぜチェバが成り立つのか

面積比で説明できます。△ABCの内部に点O、直線AO、BO、COが対辺と交わる点をP、Q、Rとします。

1つ目の比を面積で表す

△ABPと△APCは底辺がBPとPC、高さが共通（頂点Aからの高さ）なので

△OBPと△OPCも同じ理由で

比が等しい2組は、差をとっても同じ比になります。

3つかけると消える

同じように

、

3つかけるとすべて約分されて1。

これがチェバの定理の正体です。3つの三角形の面積が、順番に打ち消し合っています。

チェバを使う：3本が1点で交わるとき

△ABCの内部の1点で3本の線が交わっている。、 のとき を求めよ。

です。

【検算】座標で確かめます。、、 とすると

• （BC上、）
• （CA上、）
• （AB上、）

直線APは 、直線BQは 。交点は

直線CRは 。この点を代入すると

3本とも を通りました ○　確かに1点で交わっています。

メネラウスを使う：直線が横切るとき

△ABCで、Dは辺BC上に 、Eは辺AB上に にとる。直線CEと直線ADの交点をFとするとき を求めよ。

どの三角形とどの直線で使うかを決めます。

三角形は △ABD、横切る直線は C・F・E を通る直線

一周してたどると A → E → B → C → D → F → A。

なので 。したがって

。FはADの中点です。

【検算】座標で確かめます。、、 とすると

• （）
• （）

直線ADは 、直線CEは 。代入して

。A とD の中点は

一致 ○　確かに中点でした。

重心の2:1もこれで出る

中線を2本引くと、交点（重心）は頂点から に内分します。メネラウスで確かめられます。

△ABDで（Dは BC の中点）、直線 C・G・E（Eは AB の中点）を横切らせると

○

【検算】チェバでも確かめます。3本とも中線なら比はすべて なので

成り立っています ○　だから3本の中線は1点で交わります（チェバの逆）。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 入試での使用頻度に対して、扱いの分量が小さいから

チェバ・メネラウスは数Aの図形の性質の一部で、他の項目（円の性質・作図・空間図形など）と並ぶ1項目として置かれます。

ところが入試では比を求める問題で繰り返し使われる。配当時間と出題頻度の差が大きいため、演習量が不足しやすい位置にあります。

2. 「どちらを使うか」の判断が、図の読み取りだけで決まるから

式が同じなので、迷うのは公式ではなく状況判断です。しかしこれは計算手順として書き下せない種類の知識。

教科書は定理と証明と例題という構成になるため、「図がこう見えたらこちら」という判断の練習は独立した項目になりにくい。自分で図を分類する作業が必要になります。

3. メネラウスは「どの三角形で使うか」を自分で決める必要があるから

チェバは三角形が最初から決まっています。ところがメネラウスは、問題に出てくる三角形のどれを使うかを自分で選ぶ。

先ほどの例でも△ABCではなく△ABDを使いました。この選び方の指針——「求めたい比を含む辺をもつ三角形を選ぶ」——は、例題の中に埋もれやすく、明示されないことが多い部分です。

【検算】3つの方法

1. 積が1になるか確かめる

求めた比を式に戻して、3つかけて1になるか見ます。

【検算】チェバの例： ○

2. 座標を置いて交点を計算する

頂点を 、、 に置けば、すべて計算で出せます。時間はかかりますが確実です。

【検算】メネラウスの例：Fが でADの中点 ○

3. 比が正しい範囲にあるか

内分点なら、比の値は正です。負や0が出たら式の立て方が違います。

また分点が辺のどのあたりに来るかを図で確認します。 ならRはBに近い側——図と合うか見てください。

よくあるミス

ミス1：たどる向きが途中で変わる

一周を崩さない。しりとりになっているかで確認できます。

ミス2：メネラウスで三角形を選び間違える

求めたい比を含む辺をもつ三角形を選びます。

ミス3： と を混同する

メネラウスでは辺の延長まで含む比が出てきます。 なら 。

ミス4：チェバなのにメネラウスを使う

3本が1点で交わっていればチェバ。図を先に見ます。

ミス5：分子と分母を逆にする

たどった順に前が分子、後ろが分母です。

練習問題

1. △ABCで3本が1点で交わり、、 のとき を求めなさい。
2. 1の答えを式に戻して、積が1になることを確かめなさい。
3. △ABCで 、。直線CEと直線ADの交点をFとするとき を求めなさい。
4. 3本の中線について、チェバの式が成り立つことを確かめなさい。
5. 重心が中線を に分けることをメネラウスで示しなさい。
6. △ABCで3本が1点で交わり、、 のとき を求めなさい。

解答

1. より 。
2. 1 ○
3. △ABDと直線CEで 。
4. すべて なので 1 ○（チェバの逆より1点で交わる）
5. より 。
6. より 。。検算： ○

まとめ

• 3本が1点で交わる→チェバ、1本が横切る→メネラウス
• 式はどちらも同じ形。一周してたどれば作れる
• 覚え方はしりとり：AR→RB→BP→PC→CQ→QA→AR
• チェバの根拠は面積比が順に打ち消し合うこと
• メネラウスは使う三角形を自分で選ぶ（求めたい比を含む辺をもつもの）
• 重心の もこれで出る
• 検算は積が1／座標で交点を計算／比が図と合うか

チェバ・メネラウスは比を求める作業を機械化する道具です。相似を何回も使えば同じ答えは出ますが、時間がかかる。「一周して1」という形を1つ覚えて、図の見分けだけを練習する——これが最も費用対効果の高い投資になります。