直角三角形の合同条件の使い分け｜中2三角形と四角形

直角三角形には専用の合同条件が2つあります。

①斜辺と1つの鋭角　②斜辺と他の1辺

なぜ専用の条件があるのか——直角が1つ、はじめから等しいと分かっているからです。そのぶん必要な条件が減ります。

一般の合同条件との関係

直角三角形の条件	帰着する一般の条件
斜辺と1つの鋭角	1辺とその両端の角
斜辺と他の1辺	3辺

なぜ「斜辺と1鋭角」でよいのか

直角が90度、鋭角が分かれば、残りの角も自動的に決まります。

3つの角がすべて決まり、さらに1辺（斜辺）が等しいので形も大きさも一致します。

なぜ「斜辺と他の1辺」でよいのか

三平方の定理で、残りの1辺が計算できるからです。

斜辺5、他の1辺3なら

残りは必ず4——3辺がそろうので合同です。

【検算】斜辺13、他の1辺5なら で12。やはり1通りに決まります ○

ここが大事：直角でないと成り立たない

「2辺と1角が等しい」——その角が直角でなければ、合同とは限りません。

AB＝5、∠A＝30度、BC＝3 の三角形は、1つに決まりますか。

2つあります。点Cの位置が2か所とれるからです。

Aから30度の向きに引いた直線上で、Bからの距離が3になる点は2つ見つかります。

【検算1】Bから直線までの距離を計算します。

BC＝3は2.5より大きく、5より小さい。この範囲だと交点が2つできます ○

【検算2】実際に長さを求めると、AC は約5.99 と約2.67 の2通り。合同ではありません ○

直角のときだけ、斜辺が最長なので位置が1つに決まる

これが「直角三角形専用の条件」が成り立つ理由です。

使ってみる：二等辺三角形の性質

AB＝ACの二等辺三角形ABCで、Aから辺BCに垂線AMを引きます。BM＝CMであることを証明しなさい。

証明

△ABMと△ACMにおいて

• （垂線だから）
• （仮定）——斜辺
• は共通——他の1辺

直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので

△ABM ≡ △ACM

対応する辺は等しいので 。

【検算】座標で確かめます。A(0,4)、B(-3,0)、C(3,0)、M(0,0)とすると

どちらも5。そして

一致 ○　AM は共通で4です。

斜辺はどれか、必ず確認する

斜辺＝直角の向かい側の辺＝いちばん長い辺

この2つは同じことです。三平方の定理から、直角の対辺がいちばん長くなります。

【検算】3・4・5の直角三角形で、いちばん長いのは5。直角は5の向かい側にあります ○

条件を書くときは「斜辺」と明記してください。ただ「1辺が等しい」では不十分です。

使い分けの早見表

分かっているもの	使う条件
斜辺＋鋭角	斜辺と1つの鋭角
斜辺＋斜辺でない辺	斜辺と他の1辺
直角をはさむ2辺	一般の2辺とその間の角
斜辺でない1辺＋鋭角	一般の1辺と両端の角

直角三角形でも、一般の条件が使えるなら使ってかまいません。専用条件は「そのほうが早いとき」に使います。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「追加で2つ覚える」形になりやすいから

一般の3条件に加えて2つ——合計5つを覚えることになります。

ところが直角三角形の2つは一般の条件に帰着できます。「角が1つ分かっているから、そのぶん条件が減る」と理解すれば、暗記量は増えません。

2. 「なぜSSAではだめなのか」が扱われにくいから

2辺と1角では合同にならない——反例を見ないと納得できません。

ところが反例を作るには作図か三角比が必要です。中学2年の段階では扱いにくいため、「そういう決まり」として流れがちです。

3. 三平方の定理を習う前だから

「斜辺と他の1辺」で残りが決まるのは三平方の定理があるからです。

しかし三平方は中学3年。中2の段階では理由が説明できません。学年をまたぐため、根拠が後になってから分かる構成になっています。

【検算】3つの方法

1. 三平方で残りの辺を計算する

1通りに決まるかを確かめます。

【検算】斜辺5・他の辺3なら残りは4に決まる ○

2. 斜辺が最長になっているか

【検算】3・4・5で最長は5。直角の対辺 ○

3. 対応する頂点の順で書けているか

【検算】△ABM ≡ △ACM なら B と C が対応 ○　だから BM＝CM

よくあるミス

ミス1：斜辺を確認せずに使う

「斜辺」と明記が必要です。

ミス2：直角でないのに専用条件を使う

直角三角形限定です。

ミス3：2辺と1角で合同と決めつける

間の角でなければ成り立ちません。

ミス4：鋭角が2つ必要だと思う

1つで十分です（直角と合わせて2角）。

ミス5：条件名を書かずに結論だけ書く

どの条件を使ったか明記します。

ミス6：対応順を無視する

≡ の左右を対応順にそろえます。

練習問題

1. 直角三角形の合同条件を2つ答えなさい。
2. 斜辺5・他の1辺3のとき、残りの辺を求めなさい。
3. 斜辺13・他の1辺5のとき、残りの辺を求めなさい。
4. 直角が90度、鋭角が30度のとき、残りの角を求めなさい。
5. AB＝5、∠A＝30度、BC＝3の三角形が2つある理由を答えなさい。
6. A(0,4)、B(-3,0)、C(3,0)でAB、ACの長さを求めなさい。
7. 6の三角形でBM＝CMとなる理由を、使う条件名とともに答えなさい。

解答

1. 斜辺と1つの鋭角／斜辺と他の1辺
2. 4
3. 12
4. 60度
5. Cの位置が2か所とれるから（直角でないため）
6. どちらも5
7. 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので合同だから

まとめ

• 直角三角形の条件は①斜辺と1鋭角 ②斜辺と他の1辺
• 理由は直角が1つ決まっているから条件が1つ減る
• ①は1辺と両端の角、②は3辺に帰着する
• 2辺と1角（間の角でない）では合同にならない
• 斜辺＝直角の対辺＝最長辺
• 検算は三平方で残りの辺／最長辺の確認／対応順

合同条件は覚える数を増やさないことが大切です。直角三角形の2条件も、「角が1つタダでもらえる」と考えれば一般条件の一部。丸暗記を減らすほど、証明で迷わなくなります。