特別な直角三角形の辺の比が覚えられない｜中3三平方の定理

の直角三角形は 。 は 。

順番が分からなくなる。どの辺が1で、どの辺が なのか。中3で非常に多いつまずきです。

覚える必要はありません。2つとも、その場で作れます。

結論：正三角形と正方形を半分にするだけ

作り方	できる三角形	辺の比
正三角形を半分
正方形を半分

どちらも身近な図形を半分にするだけ。そして三平方の定理で残りの辺が出ます。

を作る

1辺2の正三角形を用意します。頂点から底辺に垂線を下ろすと、正三角形は2つの合同な直角三角形に分かれます。

• 斜辺 … 正三角形の1辺で2
• 底辺の半分 … 1（垂線が底辺を二等分するから）
• 高さ … 三平方の定理で求める

高さを とすると

比は （短い辺：高さ：斜辺）。

角との対応も一緒に決まります。

• の向かい … 最も短い辺
• の向かい …
• の向かい … 斜辺 （最長）

角が大きいほど、向かいの辺が長い——この対応さえ押さえれば、順番を間違えません。

【検算】 ○。三平方の定理が成り立っています。

大小も確認します。 なので ○。順番も合っています。

を作る

1辺1の正方形を対角線で半分にします。

• 2辺 … 正方形の辺で1と1
• 斜辺 … 対角線

斜辺を とすると

比は 。

【検算】 ○。 で斜辺が最長 ○

2つの角が等しい（どちらも ）から、向かいの2辺も等しい——二等辺三角形です。これも角と辺の対応から確認できます。

使い方：1つの辺から残りを出す

実戦では1つの辺が与えられて、残りを求める形で出ます。

の直角三角形で、斜辺が10のとき、他の2辺を求めなさい。

比が で、斜辺が にあたる部分です。斜辺が10なので比の1つぶんは5。

• 短い辺 …
• 高さ …

【検算】三平方で確かめます。

一致 ○

逆向きも同じ

短い辺が7のとき、斜辺と高さを求めなさい。

短い辺が にあたるので1つぶんは7。斜辺は 、高さは 。

【検算】 ○

「どの辺が比のどこにあたるか」を最初に決める——これが手順です。

覚えておくと速い整数の組

特別な角の三角形とは別に、3辺がすべて整数になる直角三角形があります。ピタゴラス数と呼ばれます。

3辺	確認
	○
	○
	○
	○

これらは特別な角ではありません。 の角は でも でもありません。混同しないでください。

倍数も同じ形です。 や も直角三角形になります。

【検算】 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 比を「覚えるもの」として提示されやすいから

は短くて覚えやすい。だから覚える対象として扱われがちです。

ところが覚えると順番があいまいになります。 なのか なのか——これは並べ方の約束の問題で、意味がありません。

正三角形を半分にすれば、その場で正しい対応が出ます。10秒あれば作れます。

2. 角と辺の対応が明示されにくいから

「大きい角の向かいが長い辺」という対応は、三角形の基本性質です。しかし特別な直角三角形の単元で、この対応を確認する場面は限られます。

この対応を持っていれば、比の順番で迷うことがなくなります。 が最小なら、向かいの辺が最短。

3. ピタゴラス数と混同しやすいから

と はどちらも直角三角形の辺の比ですが、角度がまったく違います。

ところが両方とも「覚えておくと便利な組」として並べて提示されるため、混ざりやすい。

「特別な角の三角形」と「整数の直角三角形」は別物——この区別を明確にしておいてください。角が与えられているか、辺の長さが与えられているかで使い分けます。

【検算】3つの方法

1. 三平方の定理で確かめる

最も確実です。求めた3辺で が成り立つか。

3辺	確認
	○
	○
	○

2. 大小関係を確認する

斜辺が必ず最長です。、 を使って概算します。

斜辺より長い辺が出たら間違いです。

3. 角と辺の対応を確認する

最大の角（）の向かいが最長辺、最小の角の向かいが最短辺。

の向かいが になっていたら、入れ替わっています。

よくあるミス

ミス1： と を入れ替える

の向かいが1、 の向かいが です。

迷ったら正三角形を描いて半分にする。底辺の半分が1、高さが だと目で分かります。

ミス2：斜辺を にする

斜辺は2です。 なので、 が最長にはなりません。

ミス3： を の三角形だと思う

別物です。 の角は でも でもありません。

ミス4：比の1つぶんを求めずに掛ける

斜辺10ならまず「1つぶん」を求めます（）。いきなり としないこと。

ミス5：正方形の対角線を1辺の2倍だと思う

倍（約1.41倍）です。2倍ではありません。

練習問題

1. の直角三角形で、斜辺が8のとき他の2辺を求めなさい。
2. 同じ三角形で、 の向かいの辺が6のとき、斜辺を求めなさい。
3. の直角三角形で、等しい2辺が4のとき斜辺を求めなさい。
4. 1辺6の正三角形の高さを求めなさい。
5. 1辺5の正方形の対角線の長さを求めなさい。
6. 3辺が の三角形は直角三角形か。

解答

1. 1つぶんは 。短い辺4、高さ。検算： ○
2. の向かいが にあたるので1つぶんは6。斜辺は 12。検算： ○
3. 倍なので。検算： ○
4. 正三角形を半分にすると、斜辺6・底辺3の直角三角形。高さは 。比 で1つぶんが3 ○
5. 倍で。検算： ○
6. 、。直角三角形です（ の3倍）

まとめ

• 覚えるのではなく作る。正三角形を半分／正方形を半分
• は（ の向かいが1）
• は
• 大きい角の向かいが長い辺。これで順番が決まる
• 使うときは「1つぶん」を先に求める
• ピタゴラス数（ など）とは別物。角が違う
• 検算は三平方が成り立つか／斜辺が最長か

この2つの三角形の比は、高校の三角比でそのまま 、、 という値になります。三角比の値表を覚える必要がないのは、この2つの三角形を描けるからです。中3のここで「作る」習慣をつけておけば、高校でも同じ方法が使えます。