ド・モアブルの定理の使いどころ｜数III複素数平面

ド・モアブルの定理は「 乗が偏角の 倍」という単純な事実です。ところが使いどころは意外と広い。

1. 乗根を求める（方程式 を解く）
2. 倍角の公式を導く（ など）
3. 正 角形の頂点を書く

とくに2番目は、暗記していた公式が自分で作れるようになります。

結論：定理そのもの

は整数（負でもよい）。絶対値1のときの形です。一般には

【検算】負の指数でも成り立ちます。 のとき

確かに逆数になっています ○

使いどころ1： 乗根を求める

を解け。

右辺を極形式に

は絶対値8、偏角 。

と置く

ド・モアブルより 。両辺を比べて

ここで を足すのが重要です。偏角は 足しても同じ点を表すから。

解を書き出す

0
1
2

（ は となり と同じ点）

【検算1】 を3乗します。

一致 ○

【検算2】 を3乗します。

一致 ○

【検算3】解が3個あり、偏角が ずつ離れている——円周を3等分しています ○

なぜ解は 個なのか

で異なる点が得られ、 で最初に戻るからです。

偏角の増分は 。 回まわると1周して元に戻ります。

使いどころ2：倍角の公式を導く

これが最も実用的かもしれません。3倍角の公式を作ってみます。

左辺を二項定理で展開します。

、 なので

実部を比べる

を代入して

虚部を比べる

を代入して

3倍角の公式が両方とも出てきました。

【検算1】 で確かめます。 なので

一方 。一致 ○

【検算2】 のほうも。 なので

一方 。一致 ○

公式を忘れても、展開すれば作れる——これがド・モアブルの実用的な価値です。

使いどころ3：正 角形の頂点

の解は単位円周を 等分した点——つまり正 角形の頂点です。

【検算】 の解は6個で、偏角は

差はすべて （60°）。正六角形です ○

【検算2】 の解は 。

6乗すると偏角は で1周して1に戻ります ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. を足す必然性が示されにくいから

乗根を求めるとき偏角に を足す——これを忘れると解が1個しか出ません。

理由は「偏角は 足しても同じ点」だから。当たり前すぎて説明されないことが多いのですが、ここが解の個数を決めています。

2. 倍角公式を導く使い方が紹介されにくいから

3倍角の公式は数IIで加法定理から導きます。だからド・モアブルで導く必要はない、と見なされやすい。

ところが4倍角、5倍角になると加法定理では大変。ド・モアブルなら二項定理で展開するだけです。公式を作る道具として持っておく価値があります。

3. 「なぜ解が 個か」が数え上げにならないから

で 個——これは偏角が1周することから来ています。

ところが結果として 個と示されると、なぜそこで打ち切るのかが分からない。 で最初に戻ることを1回確認すれば納得できます。

【検算】3つの方法

1. 得た解を 乗して戻すか

最も確実です。展開して計算します。

【検算】 ○

2. 倍角公式を特別な角で確認する

などで両辺を計算します。

【検算】 ○

3. 解が円周上に等間隔か

絶対値がすべて同じ、偏角の差が になるはずです。

【検算】 の3解：絶対値はすべて2、偏角の差は ○

よくあるミス

ミス1： を足さない

解が1個しか出ません。 個あります。

ミス2： の範囲を間違える

。 は と同じです。

ミス3： を忘れる

絶対値も 乗されます。

ミス4：展開で を とする

です。 から。

ミス5：実部・虚部の比較を忘れる

両方比べます。そこから2つの公式が出ます。

ミス6： を使わずに止める

1文字にそろえると、見慣れた公式の形になります。

練習問題

1. を解きなさい。
2. 1の解 を3乗して検算しなさい。
3. ド・モアブルの定理から の公式を導きなさい。
4. 同様に の公式を導きなさい。
5. 3・4を で検算しなさい。
6. の解の個数と、偏角の間隔を答えなさい。
7. を求めなさい。

解答

1. 、。
2. 、さらに掛けて ○
3. 実部を比べて
4. 虚部を比べて
5. ： ○　： ○
6. 6個、間隔は（正六角形の頂点）
7. （）

まとめ

• （ は整数）
• 使いどころは① 乗根 ②倍角の公式 ③正 角形
• 乗根では偏角に を足す（解は 個）
• 倍角公式は二項定理で展開して実部・虚部を比べる
• の解は正 角形の頂点
• 検算は 乗して戻す／特別な角で確認／等間隔か

ド・モアブルの定理は「回転を繰り返す」という一言を式にしたものです。そこから 乗根も倍角公式も出てくる。1つの単純な事実が、複数の道具を生む——数学の力が最もよく見える定理の1つです。