「かつ」「または」の否定を間違える｜数I集合と命題

「 かつ 」の否定は何か。反射的に「 かつ 」と書いてしまう——これは誤りです。

正しくは「 または 」。「かつ」が「または」に変わります。この入れ替えをド・モルガンの法則といいます。

結論：否定すると「かつ」と「または」が入れ替わる

「 かつ 」の否定 ＝「 または 」
「 または 」の否定 ＝「 かつ 」

否定すると接続詞も反転する——ここを忘れるのが最多のミスです。

覚え方はありません。意味を考えれば当たり前だと分かります。

なぜ入れ替わるのか

日常の言葉で考えます。

「傘を持っているかつ帽子をかぶっている」の否定は？

この条件を満たさない人は、次のどれかです。

• 傘を持っていない
• 帽子をかぶっていない
• 両方持っていない

まとめると「傘を持っていない、または帽子をかぶっていない」。

「両方そろっている」を崩すには、片方が欠ければ十分——だから「または」になります。

もし否定を「両方とも持っていない」としてしまうと、「傘だけ持っている人」が抜け落ちます。この人はもとの条件を満たしていないのに、否定にも入らない。これでは全体を覆えません。

【検算】4通り全部で確認します。

傘	帽子	「かつ」	その否定	「または（否定どうし）」
○	○	真	偽	偽 ○
○	×	偽	真	真 ○
×	○	偽	真	真 ○
×	×	偽	真	真 ○

4通りすべて一致しました ○。これがド・モルガンの法則の証明そのものです。

「または」の否定も同じ理屈

「傘を持っているまたは帽子をかぶっている」の否定は？

この条件を満たさないのは「どちらも持っていない」人だけ。つまり

「傘を持っていない かつ 帽子をかぶっていない」

「どちらか一方でもあればよい」を崩すには、両方とも欠ける必要がある——だから「かつ」になります。

【検算】同じく4通りで確認します。

傘	帽子	「または」	その否定	「かつ（否定どうし）」
○	○	真	偽	偽 ○
○	×	真	偽	偽 ○
×	○	真	偽	偽 ○
×	×	偽	真	真 ○

すべて一致 ○

数直線で確かめる

不等式で確認すると、目で見て納得できます。

「 かつ 」つまり の否定は？

数直線で の範囲を塗ると、残りは2つに分かれます。

• 左側 …
• 右側 …

この2つを合わせたものが否定なので「または」です。

【検算】いくつかの値で確かめます。

		否定に入るか	または
1	×	入る	○
2	×	入る	○
3	○	入らない	どちらも× ○
5	×	入る	○
7	×	入る	○

すべて一致 ○

誤答「 かつ 」を確かめると、これを満たす は1つもありません（2以下かつ5以上の数は存在しない）。否定が空になるのは明らかにおかしい ○

集合で見ると

集合の言葉でも同じことです。

論理	集合
かつ	共通部分
または	和集合
	補集合

ド・モルガンの法則は

ベン図で塗れば一目です。2つの円の重なりの外側は、片方の円の外側どうしを合わせたものになります。

【検算】具体的な集合で確かめます。全体集合を 、、 とします。

• 、その補集合は
• 、、和集合は

一致しました ○

• 、その補集合は

こちらも一致 ○

3つ以上でも同じ

要素が増えても規則は変わりません。

「 かつ かつ 」の否定
＝「 または または 」

すべての接続詞が反転します。

【検算】「3つとも当たり」の否定は「少なくとも1つがはずれ」。1つでも欠ければ崩れるので「または」 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 日常語の「または」と数学の「または」がずれるから

日常で「AまたはB」と言うと「どちらか一方」を指すことが多い（「コーヒーまたは紅茶」）。

ところが数学の「または」は「少なくとも一方」——両方成り立つ場合も含みます。

この違いが明示されないと、否定を作るときに混乱します。数学の「または」は両方を含むと最初に確認しておく必要があります。

【検算】 または を満たす には、（両方満たす）も含まれます ○

2. 法則の名前が意味を伝えないから

「ド・モルガンの法則」は人名です。内容を一切表していません。

名前から中身が思い出せないので、公式として暗記することになりやすい。ところが意味を考えれば当たり前の内容です。

「両方そろっているのを崩すには片方欠ければ足りる」——この一言を覚えるほうが確実です。

3. 使う場面が対偶・背理法と結びついているから

ド・モルガンの法則が実際に必要になるのは、対偶を作るときや背理法で否定を作るときです。

ところが命題の単元では否定の練習、証明の単元では対偶や背理法と、扱いが分かれます。「否定を正しく作れないと証明が始まらない」という結びつきが見えにくいのです。

【検算】3つの方法

1. 4通りすべてで確かめる

がそれぞれ真偽2通りなので全部で4通り。すべて確認すれば完全な証明になります。

2. 数直線で塗る

不等式なら数直線が最速です。もとの範囲を塗って、残りが答え。

もとの条件	否定
	または
または
かつ	または

3. 値を入れて確かめる

もとの条件を満たす値と満たさない値を1つずつ選び、否定で真偽が逆になるかを見ます。

• ：もとは真、否定は偽 ○
• ：もとは偽、否定は真 ○

逆にならなければ、否定の作り方が間違っています。

よくあるミス

ミス1：接続詞を変えない

最も多いミスです。「かつ」の否定は「または」。そのままにすると範囲が空になったり、逆に広すぎたりします。

ミス2：不等号の等号を落とす

の否定は。 ではありません。 も否定に入ります。

ミス3：片方だけ否定する

両方とも否定します。 または は誤りです。

ミス4：日常語の「または」で考える

数学の「または」は両方成り立つ場合も含みます。「どちらか一方だけ」ではありません。

ミス5：否定を2回作って戻し忘れる

否定の否定はもとに戻ります。。計算の途中で確認してください。

練習問題

1. 「 かつ 」の否定を書きなさい。
2. 「 または 」の否定を書きなさい。
3. 「」の否定を書きなさい。
4. 「 または 」の否定を書きなさい。
5. 全体集合を 、、 とする。 を求めなさい。
6. 5で を求め、一致するか確かめなさい。

解答

1. 「 または 」。接続詞が変わり、等号が入ります
2. 「 かつ 」。「または」が「かつ」に変わります
3. 「 または 」。検算： はもとを満たし否定を満たさない ○、 は逆 ○
4. 「」（ かつ ）。検算： は否定を満たす ○、 は満たさない ○
5. なので
6. 、。和集合は。5と一致しました ○

まとめ

• 否定すると「かつ」と「または」が入れ替わる（ド・モルガンの法則）
• 理由は「両方そろっているのを崩すには片方欠ければ足りる」から
• 集合では。ベン図で確認できる
• 不等号の否定には等号が入る（ の否定は ）
• 数学の「または」は両方を含む。日常語とずれる
• 3つ以上でもすべての接続詞が反転
• 検算は4通りすべて／数直線で塗る／値を入れて真偽が逆になるか

正しく否定を作れることは、対偶・背理法・必要十分条件のすべての土台です。とくに「〜でない」を式にできないと、証明の1行目が書けません。ド・モルガンの法則は名前こそ人名ですが、中身は「片方欠ければ崩れる」という当たり前の観察です。数Iのここで意味として理解しておけば、公式として思い出す必要がなくなります。