4点が同一円周上にあることの示し方｜中3円

「4点A、B、C、Dが同一円周上にあることを示せ」。円が図に描かれていないのに、円があると示す——この発想の転換ができず、手が止まる人が多い問題です。

示し方は2通りしかありません。どちらを使うかも、図を見れば決まります。

結論：等しい角を2つ見つける

使うのは円周角の定理の逆です。

2点C、Dが直線ABの同じ側にあって ならば、
4点A、B、C、Dは同一円周上にある

直感的にはこうです。「線分ABを同じ角度で見ている点は、同じ円弧上に並ぶ」。

【検算】座標で確かめます。単位円上に 、 を取ります。

ABを見る角が になる点を探すと、円周上のC、Dが該当します。 と で計算すると、どちらも 。

逆に円の外の点、たとえば から見ると角は約 。円周上でなければ にならない ○

円の外に出ると角は小さくなり、円の内側に入ると大きくなる——だからちょうど で見える点が、1つの円弧に並ぶのです。

もう1つの方法：向かい合う角の和が

4点の並び方によっては、こちらを使います。

四角形ABCDで ならば、
4点は同一円周上にある

これは円に内接する四角形の性質の逆です。

2つの使い分け

状況	使う
C、DがABの同じ側	円周角の定理の逆（角が等しい）
四角形ABCDができている（反対側）	対角の和が

図を見て、2点が線分の同じ側にあるか反対側にあるかで決まります。

【検算】単位円上に4点を取り、対角の和を確認します。 の4点で四角形を作ります。

円に内接する四角形の対角の和は必ず 。実際に計算すると、対角の組はどちらも和が になります ○

理由も明確です。対角はそれぞれ反対側の弧を見ており、2つの弧を合わせると円1周（中心角 ）。円周角はその半分なので です。

典型的な使いどころ

使いどころ1：垂線の足

△ABCで、BからACに下ろした垂線の足をD、CからABに下ろした垂線の足をEとする。4点B、C、D、Eは同一円周上にあることを示しなさい。

、。

DとEは直線BCの同じ側にあり、BCを見る角がどちらも で等しい。

よって円周角の定理の逆より、4点B、C、D、Eは同一円周上です。

この円はBCを直径とする円になります（ は半円の円周角だから）。

【検算】座標で確かめます。、、。

BCの中点は 。BCを直径とする円は、中心 ・半径3 です。

Dを求めます。直線ACは 、 を通るので 。 からこの直線への垂線の足は

直角の確認：、。内積は

内積0で直角 ○

円上にあるかの確認：

OD＝3＝半径。DはBCを直径とする円上にあります ○

Eも同様に求まり、。 も同じく9なので、B、C、D、Eの4点が半径3の円上に並びます ○

使いどころ2：角が等しいと分かったとき

相似の証明などで2つの角が等しいことが分かったら、4点が同一円周上かもしれないと疑ってください。

円が見つかれば、他の円周角も使えるようになる——これが大きな利点です。1つの円が見つかると、複数の等しい角が一度に手に入ります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「逆」を扱う分量が少ないから

円周角の定理は繰り返し練習しますが、その逆は補足として扱われることが多い。

ところが「4点が同一円周上」の証明では、逆しか使いません。定理と逆で練習量と出題頻度が釣り合っていない項目です。

2. 「円がないのに円を考える」という発想が新しいから

それまでの図形問題では、図に描かれているものを使って解いてきました。ところがこの問題では描かれていない円の存在を示します。

「ないものを作る」という発想は、補助線を引くのと同じ種類の飛躍です。手順として明示されないと自力では出てきにくい。

手順ははっきりしています。「等しい角を2つ探す」。それだけです。

3. 使いどころが応用問題に集中しているから

4点共円は単独では出題されにくく、多くはより大きな証明の途中で使われます。「円が見つかる → 他の角も等しい → 相似が示せる」という流れの一部です。

そのため基本問題では練習しにくい。応用問題で初めて必要になるという順序です。

【検算】座標で確かめる

4点が同一円周上にあるかは、座標があれば計算で判定できます。

1. 3点を通る円の中心と半径を求める（2本の垂直二等分線の交点）
2. 4点目がその円上にあるかを確認する

中心が 、半径 なら、点 が円上にある条件は

【検算】先の例で確かめます。、、。中心 、半径3の円上にあるか。

点		か
B		○
C		○
D		○

3点とも半径3の円上 ○

もう1つ、角度で確認する方法もあります。BCを見る角がすべて等しいか。Dからは でした。

よくあるミス

ミス1：2点が線分の反対側にあるのに「等しい角」を使う

同じ側でなければ成り立ちません。反対側なら和が を使います。

ミス2：角が等しいだけで結論を書かない

答案には「円周角の定理の逆より」と根拠を明記します。

ミス3：3点で満足する

3点は必ず1つの円上にあります（一直線上でなければ）。示すべきは4点目もその円上にあることです。

ミス4：円が見つかっても使わない

円が見つかったら他の円周角も等しいことを使います。それが目的です。

ミス5：直角2つの場合に直径を見落とす

が2つあるなら、その角が見ている線分が直径です。中心はその中点。

練習問題

1. 4点が同一円周上にあることを示す方法は何通りあるか。
2. 2点が線分ABの同じ側にあるとき、使う条件を答えなさい。
3. 四角形ABCDが円に内接するとき、 なら はいくつか。
4. のとき、4点A、B、C、Dが乗る円の直径はどの線分か。
5. 、、 が中心 、半径3の円上にあるか確かめなさい。
6. 3点が同一円周上にあることは、示す必要があるか。

解答

1. 2通り（円周角の定理の逆／対角の和が ）
2. その2点からABを見る角が等しいこと（円周角の定理の逆）
3. 。対角の和は
4. AB。 は半円の円周角なので、見ている線分ABが直径です
5. Bは 、Cは 、Pは 。3点とも円上 ○
6. 必要ありません。一直線上にない3点は必ず1つの円上にあります

まとめ

• 示し方は2通りだけ
• 2点が線分の同じ側 → 角が等しい（円周角の定理の逆）
• 2点が反対側（四角形ができる） → 対角の和が
• が2つあれば、見ている線分が直径
• 3点は常に同一円周上。示すのは4点目
• 円が見つかったら他の円周角も使うのが目的
• 検算は座標で を確認

4点共円は、高校の数A（円の性質）で方べきの定理の逆とともに扱われ、図形問題の強力な道具になります。「等しい角を見たら円を疑う」——この反射は、図形問題で使える手数を大きく増やします。中3のここで、探し方を手順として持っておいてください。