円と直線の位置関係の判定2通り｜数II図形と方程式

円と直線の位置関係を調べる方法は2つあります。判別式と中心からの距離。どちらでも答えは同じです。

問題はどちらを使うか。基準は1つ、交点の座標がいるかどうかです。

結論：座標がいるなら判別式、位置だけなら距離

	判別式	中心からの距離
やること	連立して2次方程式に	と を比べる
速さ	計算がやや重い	速い
交点の座標	そのまま出る	別に求める必要あり
円が一般形	そのまま使える	平方完成が必要

判定は次のとおり。向きが逆なので注意してください。

位置関係	判別式	距離
2点で交わる
接する
交わらない

2つの方法は同じことを言っている

実際に確かめます。円 と直線 で調べます。

判別式で

代入して を消します。

2次方程式の判別式は（ の係数が偶数なので4分の1で）

となるのは 、つまり 。

距離で

直線を に直します。中心は原点、半径は 。

は

まったく同じ条件が出ました ○

【検算】（）で確かめます。

交点は の2点。座標は と 。

円上か確かめます。 ○、 ○　確かに2点で交わっています。

やってみる1：接する場合

円 と直線 の位置関係を調べよ。

判別式で

10で割ると

重解 。つまり接します。接点は より 。

距離で

直線を に直します。中心は原点、半径 。

なので接する ○　同じ結論です。

【検算】接点 が両方を満たすか。

円上でも直線上でもある ○

やってみる2：交わらない場合

円 と直線 の位置関係を調べよ。

距離で（速い）

半径は1。 なので交わりません。

判別式で

を代入します。

実数解なし ○　同じ結論です。

【検算】 ○

円が一般形のとき

円 と直線 の位置関係を調べよ。

距離を使うには、中心と半径が必要です。平方完成します。

中心 、半径3。距離は

なので接します。

【検算】接点を求めます。中心から の向きに3進むと

直線上か： ○

円上か： ○

確かに接点です。

一般形のままなら判別式のほうが速い場合もあります。平方完成の手間を天秤にかけてください。

おまけ：弦の長さは三平方で

2点で交わるとき、弦の長さは距離 から一発で出ます。

弦の長さ

中心から弦におろした垂線は弦を2等分するので、半径・・弦の半分で直角三角形ができるからです。

円 と直線 が交わってできる弦の長さを求めよ。

【検算】交点を実際に求めます。 を代入すると

のとき 、 のとき 。

2点間の距離は

一致 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 2通りあることは示されても、選ぶ基準が示されにくいから

教科書には両方の方法が並べて書かれます。どちらも正しいので、どちらで解いてもよい。

ところが実際には問題によって手間が大きく違います。この「選び方」は解法の知識ではなく経験に属するため、明示的な項目として置かれにくい。結果として、いつも同じ方法で押し通して時間を失うことになります。

2. 「2つが同値である」ことを確かめる場面がないから

判別式の条件と距離の条件は式の形がまったく違います。それでも同じ結論になる。

この一致を実際に計算で確かめると理解が深まりますが、どちらか一方で答えが出れば問題としては終わり。両方やる動機が生まれにくい構成です。検算として2通りやる価値は大きい。

3. 弦の長さが別の項目に分かれやすいから

は位置関係の判定と同じ を使い回すだけです。

しかし位置関係と弦の長さは別の設問として扱われることが多く、「 さえ出せば両方いける」という見通しが立ちにくい。1回の計算で2つ答えられると知っていれば、試験で有利になります。

【検算】3つの方法

1. もう一方の方法でも判定する

判別式と距離は独立した2つの道筋です。両方で同じ結論なら確実。

【検算】 と ：重解 ○、 ○

2. 交点・接点を求めて両方の式に代入する

円の式と直線の式の両方を満たすはずです。

【検算】： ○、 ○

3. 弦の長さを2通りで求める

【検算】、交点間の距離も8 ○

よくあるミス

ミス1：不等号の向きを取り違える

と が同じです。向きが逆になります。

ミス2：直線を の形に直さずに距離を計算する

にしてから代入します。

ミス3：一般形の円で中心を読み違える

平方完成が必要です。 なら中心の 座標は2（符号に注意）。

ミス4：判別式で を消し忘れる

1文字にしてから判別式を使います。

ミス5：重解を「解が1個」と数えて交点1個と結論する

結論は正しい（接する）のですが、接点は1点という言い方が正確です。

ミス6：弦の長さで のまま答える

2倍を忘れないこと。半分の長さです。

練習問題

1. 円 と直線 が2点で交わる の範囲を、判別式で求めなさい。
2. 同じ問題を、中心からの距離で求めなさい。
3. 円 と直線 の位置関係と、接するなら接点を求めなさい。
4. 円 と直線 の位置関係を調べなさい。
5. の中心と半径を求めなさい。
6. 5の円と直線 の位置関係を調べなさい。
7. 円 と直線 が交わってできる弦の長さを求めなさい。

解答

1. 、 より
2. より 。同じ範囲 ○
3. で重解。接する。接点。検算： ○
4. より交わらない。検算： ○
5. より中心、半径3
6. より接する。接点は
7. 、8。検算：交点 と の距離も8 ○

まとめ

• 判定は2通り：判別式 と 中心からの距離
• （不等号の向きが逆）
• 交点の座標が必要なら判別式、位置関係だけなら距離
• 円が一般形なら平方完成してから距離を使う
• 弦の長さは（ を使い回せる）
• 検算はもう一方の方法／交点を両方の式に代入／弦を2通りで

「2通りの解法があるとき、片方をもう片方の検算に使う」——これは図形と方程式の全体を通じて有効な戦略です。座標を使う方法と、図形の性質を使う方法。どちらも使えるようにしておくと、時間と正確さの両方が手に入ります。