円順列で(n-1)!になる理由｜数A場合の数

円順列の公式は 。なぜ1つ減るのかが分からないまま暗記すると、少し形を変えられただけで手が止まります。

理由は単純です。円は回しても同じ。だから同じ並びを 回ずつ数えてしまっている。 で割ると になります。

結論：回転の 通りで割る

一列に並べるなら 通りです。ところが円では、全員が1つずつ席をずれても「同じ並び」とみなします。

席をずらす方法は0個ずらす、1個ずらす、…、 個ずらすの 通り。つまり1つの円の並びが 回数えられています。

これが公式の正体です。新しい公式ではなく、数えすぎた分で割り戻しただけです。

やってみる：4人を円形に

A、B、C、Dの4人を円卓に座らせます。公式では

【検算】実際に確かめます。席に1〜4の番号をつけて一列とみなすと 通り。

そのうちABCDと同じ円の並びになるものは、回して重なるもの全部です。

ABCD、BCDA、CDAB、DABC

4通り。同じように、どの並びも4通りずつ重なります。だから

6通り ○　公式と一致しました。

6通りを全部書くと

ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB

Aを先頭に固定して書き出したものです。これがもう1つの考え方につながります。

もう1つの見方：1人を固定する

円には先頭がありません。そこでAの席を1か所に決めてしまうと、回転の自由度が消えます。

あとは残り 人を、Aから見て時計回りに並べるだけ。

割り算をしないで、最初から重複が起きない数え方をしたわけです。

考え方	式	4人のとき
数えて割る
1人を固定する

どちらでも同じです。試験では固定する方が速いので、こちらを使ってください。

割り算が使える条件

「 で割る」が正しいのは、どの並びも例外なく 通りずつ重なっているときだけです。

全員が違う人なら、これは必ず成り立ちます。ずらす個数が違えば、必ず別の並びになるからです。

同じものが混じると成り立たない

ここが重要です。同じものを含むとき、 は使えません。

赤玉2個、青玉2個を円形に並べる方法は何通りか。

公式をあてはめると を4で割って 。整数になりません。

【検算】書き出して確かめます。一列での並べ方は6通りでした。

赤赤青青、赤青青赤、青青赤赤、青赤赤青　←　回すと全部同じ

赤青赤青、青赤青赤　←　回すと同じ

1つ目のまとまりは4通り、2つ目は2通り。重なる回数がそろっていません。

だから割り算は使えず、答えは2通り（赤赤青青の形と、赤青赤青の形）。

赤青赤青は、2つ回すと自分に戻ってしまう——これが例外の正体です。

隣り合う条件がついたら

6人が円卓に座る。特定の2人が隣り合う座り方は何通りか。

2人を1組にまとめます。すると「5個のもの」の円順列。

組の中で2人の左右が入れ替わるので 。

【検算】全体は 通り。隣り合わない場合は

別の数え方でも確かめます。1人を固定すると、その人の両隣は2席。特定の相方がそこに入るのは

（相方が両隣のどちらかに座り、残り4人が4席に並ぶ）。一致 ○

じゅず順列：さらに2で割る

ネックレスのように裏返しても同じとみなすときは、円順列をさらに2で割ります。

6個なら 通り。

【検算】4個で確かめます。円順列は6通りでした。裏返しで重なるペアを探すと

円順列	裏返すと
ABCD	ADCB
ABDC	ACDB
ACBD	ADBC

ちょうど3組のペアになりました。 通り ○

全員が異なるとき、裏返して自分自身に戻る並びはないので、きれいに2で割れます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「1人を固定する」という結論だけが残りやすいから

解法としては固定する方が速いため、授業でも問題集でもこちらが前面に出ます。

ところがなぜ固定してよいのか——「回転で重なるものを1つに代表させている」という説明は、図1枚で済まされやすい位置にあります。手順が短いぶん、根拠に時間が割かれにくい構成です。

2. 直前の単元と「割る意味」が同じなのに、別公式として並ぶから

同じものを含む順列で で割ったのも、円順列で で割るのも、「重複して数えた分で割り戻す」というまったく同じ操作です。

しかし教科書では別々の項目として順に並ぶため、共通の原理としてまとめて扱われにくい。結果として公式が2つ増えたように見える構成になっています。

3. 「同じものを含むと使えない」という制限の扱いが小さいから

赤2個青2個のような場合に が使えないことは、発展的な内容として扱われることが多く、標準の演習では出てきにくい。

そのため直前に習った「同じものを含む順列」と機械的につなげて誤用することが起こりやすくなっています。答えが整数にならなければ誤用のサイン——これを知っておくだけで防げます。

【検算】3つの方法

1. 小さい で全部書き出す

		書き出し
3		ABC、ACB ○
4		6通り ○

2. 「固定する」と「割る」で一致するか

【検算】：、 ○

3. 整数になるか

並べ方の個数なので必ず整数です。分数が出たら、同じものが混じっているのに公式を使った可能性が高い。

【検算】赤2青2で ○（＝この式は使えないという合図）

よくあるミス

ミス1： のまま答える

回転で重なる分を割っていません。円に先頭はありません。

ミス2： で割ってしまう

割るのは回転の個数 です。結果が になるだけで、 で割るのではありません。

ミス3：同じものを含むのに を使う

使えません。重なる回数がそろわないからです。

ミス4：じゅず順列で2で割り忘れる／円順列で2で割ってしまう

裏返しを同じとみなすかどうかで決まります。問題文の「ネックレス」「じゅず」を見落とさないこと。

ミス5：隣り合う条件で を忘れる

組の中の左右の入れ替えがあります。

練習問題

1. 5人が円卓に座る方法は何通りか。
2. 6人が円卓に座る方法は何通りか。
3. 3人の円順列をすべて書き出しなさい。
4. 6人のうち特定の2人が隣り合う座り方は何通りか。
5. 6人のうち特定の2人が隣り合わない座り方は何通りか。
6. 異なる6個の玉でつくるじゅず順列は何通りか。
7. 7人が円卓に座り、特定の3人が続いて並ぶ方法は何通りか。

解答

1. 24。検算： ○
2. 120。検算： ○
3. Aを固定してABC、ACB の2通り。 ○
4. 2人を1組とみなして 48
5. 72。検算： ○
6. 60
7. 3人を1組とみなすと5個の円順列。144。検算：全体は なので、割合は 。7席のうち3人が続く並びの割合として妥当 ○

まとめ

• 円順列は回転で重なるものを同じとみなす
• 1つの並びが 回数えられるので、
• 実戦では1人を固定して残り 人を並べるのが速い
• 割り算が使えるのはどの並びも 回ずつ重なるときだけ
• 同じものを含むと使えない（答えが整数にならないのが合図）
• じゅず順列は裏返しも同じなので
• 隣り合う条件は1組にまとめて、中の並べ方をかける

円順列・じゅず順列・同じものを含む順列——見た目は3つの公式ですが、やっていることは全部同じです。「区別しすぎて数えた分を、重複の回数で割り戻す」。その回数がすべての場合で等しいときにだけ、割り算が使える。この1文を持っておけば、公式を忘れても現場で組み立て直せます。