円周角と中心角が2倍になる理由｜中3円

「中心角は円周角の2倍」。中3で習うこの関係、なぜ2倍なのかを説明された記憶はあるでしょうか。

証明は驚くほど簡単です。使うのは二等辺三角形の性質と、外角の定理だけ。一度追っておくと、円の単元全体が見通しやすくなります。

結論：半径が2本あるから二等辺三角形ができる

証明の核心は1行です。

円の半径はすべて等しい。だから中心と円周上の2点を結ぶと、必ず二等辺三角形になる。

二等辺三角形の底角は等しく、外角はその2つの底角の和——つまり底角の2倍。これが「2倍」の正体です。

証明：中心が角の内部にある場合

円の中心を 、円周上に3点 、、 をとります。弧 に対する円周角 と中心角 を比べます。

補助線を1本引きます： と を結び、その延長が円と交わる点を とします。

三角形 OPA に注目

（どちらも半径）なので、二等辺三角形です。よって底角が等しく

この角を とおきます。

三角形の外角は、隣り合わない2つの内角の和に等しいので

三角形 OPB も同様

なので二等辺三角形。底角を とおくと

足し合わせる

円周角は 。中心角は

したがって

使ったのは「半径が等しい」「二等辺三角形の底角は等しい」「外角＝内角の和」の3つだけです。

【検算】座標で実際に角度を測って確かめる

単位円上に点をとって、角度を数値で確認します。

中心 、半径1の円周上に

• ：角度 の位置
• ：角度 の位置
• ：角度 の位置（弧ABの反対側）

中心角 。円周角 を計算すると 。

確かにちょうど半分です。

Pの位置を変えても同じになります。

Pの角度	円周角	中心角の半分
150°	40°	40°
200°	40°	40°
270°	40°	40°
330°	40°	40°

Pをどこに動かしても円周角は変わりません。これが「同じ弧に対する円周角は等しい」（円周角の定理）の内容です。

なぜPを動かしても変わらないのか

上の証明を見返してください。中心角 は、Pの位置とは無関係に決まっています。弧ABだけで決まる量です。

そして円周角は常にその半分。だからPがどこにあっても同じ値になる——これが定理の本質です。

「同じ弧なら円周角は等しい」を暗記するのではなく、「中心角という不動の基準の半分だから」と理解しておけば、忘れることがありません。

系：直径に対する円周角は90°

弧ABが半円のとき、中心角は 。よって円周角は

直径を見たら直角。これは「タレスの定理」として知られていますが、円周角の定理の特別な場合にすぎません。

【検算】単位円で 、（直径）、 を角度 の位置にとって を計算すると 90.000°。Pを や に動かしても、すべて90°でした。

中心が角の外にある場合

上の証明は「中心Oが の内部にある」場合でした。中心が外にある配置では、足し算ではなく引き算になります。

考え方は同じで、、 を作ってから

結論は変わりません。どの配置でも「中心角＝円周角の2倍」が成り立ちます。

よくあるミス

ミス1：どちらの弧の中心角か取り違える

弧ABには短いほう（劣弧）と長いほう（優弧）があります。円周角がどちらの弧に対するものかで、対応する中心角が変わります。

点Pが優弧上にあるなら、対応するのは劣弧の中心角です。上の例で中心角80°に対して円周角40°でしたが、Pが劣弧側（角度 の位置など）にあれば、対応する中心角は となり、円周角は です。

【検算】。円に内接する四角形の対角の和が180°になるのは、この関係から出てきます。

ミス2：円周角の定理の逆を使うときに条件を落とす

「 ならP, Qは同一円周上」——これが逆の定理ですが、PとQが直線ABの同じ側にあることが条件です。反対側にあると成り立ちません。

ミス3：接弦定理と混同する

接線が絡む場合は接弦定理（接線と弦のなす角＝その弦に対する円周角）を使います。円周角の定理とは別物なので、図に接線があるかどうかを確認してください。

練習問題

1. 弧ABに対する中心角が のとき、円周角を求めなさい。
2. 弧ABに対する円周角が のとき、中心角を求めなさい。
3. ABが直径で、円周上の点Pをとる。 のとき を求めなさい。
4. 円に内接する四角形ABCDで のとき を求めなさい。理由も述べなさい。

解答

3. 直径に対する円周角なので 。内角の和より
4. 。 と はそれぞれ弧BCD、弧BADに対する円周角で、対応する中心角の和は 。よって円周角の和は となり、

まとめ

• 「2倍」の理由は半径が等しいので二等辺三角形ができるから
• 使う道具は二等辺三角形の底角・外角の定理の2つだけ
• 中心角はPの位置に依存しない。だから円周角も一定になる
• 直径に対する円周角90°は、中心角180°の半分という当たり前の帰結
• 内接四角形の対角の和180°も、中心角の和360°の半分から出る
• どちらの弧に対する角かを必ず確認する

円周角の定理は、中3の円の単元だけでなく、高校の図形の性質（方べきの定理、内接四角形）、数IIの図形と方程式まで使い続けます。証明を1回追っておけば、「なぜ2倍か」で迷うことはもうありません。