複素数の極形式と回転の関係｜数III複素数平面

複素数の極形式は「かけ算の意味」を変えます。ふつうの数のかけ算は「拡大」だけ。複素数では「回転」が加わる。

絶対値はかけ算、偏角は足し算

この一行が、複素数平面のほぼすべてです。

結論：極形式とかけ算

複素数 を、原点からの距離 と偏角 で表したものが極形式です。

2つの複素数をかけると

	かけ算での変化
絶対値	かけ算（拡大・縮小）
偏角	足し算（回転）

なぜそうなるのか

加法定理そのものです。展開すると

実部と虚部は、それぞれ加法定理の右辺です。

複素数のかけ算に、加法定理が隠れていた——これが極形式の正体です。

いちばん分かりやすい例： を掛ける

の極形式は 、。つまり

を掛ける ＝ 大きさはそのまま、90°回転

【検算】 に を掛けます。

点で見ると 。これは90°回転です ○

【検算2】絶対値を比べます。

変わっていません ○　回転だけで拡大していない。

【検算3】もう一度 を掛けると 。

。合計180°回転——確かに を掛けたのと同じです ○

極形式にする練習

を極形式で表せ。

偏角は 、 から 。

【検算】展開して戻します。

実部も虚部も1。 に戻りました ○

を極形式で表せ。

したがって 。

【検算】、 ○

かけ算してみる

を極形式で求めよ。

絶対値はかけ算、偏角は足し算です。

【検算1】直接展開します。

絶対値を計算すると

一致 ○

【検算2】。数値では 、。

一方 、。一致 ○

【検算3】偏角の足し算。 ○

ド・モアブルの定理：回転の繰り返し

回かける＝ 回まわす。偏角が 倍になるだけです。

を求めよ。

【検算1】直接計算します。

一致 ○

【検算2】 ○　 でちょうど1周——だから実数になります ○

1の 乗根：円周を等分する

の解は、単位円周を 等分した点です。

【検算】 で確かめます。

として3乗します。

確かに1になりました ○　 が3つ目の解になっているのも確認できます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「かけ算＝回転」の意味が計算に埋もれるから

極形式の積の公式は加法定理の計算で導かれます。だから計算としては追える。

ところが「かけ算が回転になる」という意味は、計算式の中には書かれていません。 を掛けて90°回る——この1例を見るだけで、意味が一気に立ち上がります。

2. 具体的な回転の例が示されにくいから

教科書は一般的な公式から入ります。それは正しい順序ですが、実感が伴いにくい。

に を掛けると ——座標で見れば90°回転そのもの。具体例が1つあれば、公式が図として見えます。

3. 偏角の範囲の約束が問題ごとに違うから

偏角は 足しても同じ点を表します。だから範囲を決める約束が必要です。

ところが とする流儀と とする流儀があり、問題によって変わる。この曖昧さが混乱のもとになります。問題文の指定を確認するのが確実です。

【検算】3つの方法

1. 極形式を展開して戻す

と がもとの実部・虚部になるはずです。

【検算】 ○

2. 直接展開して比べる

積は、そのまま展開しても計算できます。

【検算】、絶対値 ○

3. 絶対値だけ確認する

【検算】 ○　偏角を間違えても絶対値は合うので、部分的な検算として使えます。

よくあるミス

ミス1：偏角をかけ算する

足し算です。かけるのは絶対値。

ミス2：偏角の象限を間違える

と の両方の符号で決めます。 だけでは決まりません。

ミス3： を負にとる

です。

ミス4：ド・モアブルで絶対値を忘れる

も必要です。 なら 。

ミス5： 乗根の個数を間違える

個あります（円周の 等分）。

ミス6：偏角の範囲を確認しない

問題文の指定に合わせます。

練習問題

1. を極形式で表しなさい。
2. を極形式で表しなさい。
3. を極形式で表しなさい。
4. 3を直接展開して、絶対値が一致することを確かめなさい。
5. に を掛け、90°回転することを確かめなさい。
6. を求めなさい。
7. の解をすべて求めなさい。

解答

3. 、。
4. 、絶対値 ○
5. 。 で90°回転、絶対値は のまま ○
6. 、偏角 なので16。検算：、、 ○
7. 。検算： ○

まとめ

• 極形式は（距離と角度）
• かけ算は絶対値をかけ、偏角を足す
• 根拠は加法定理
• を掛ける＝90°回転
• ド・モアブルは 回まわす（ も忘れずに）
• の解は単位円の 等分点
• 検算は展開して戻す／直接計算／絶対値だけ確認

複素数平面の力は「回転を、かけ算1つで表せる」ことにあります。座標での回転は行列や三角関数が必要ですが、複素数なら掛けるだけ。図形の問題が代数の計算になる——それがこの単元の最大の見返りです。