不定方程式ax+by=cの解き方の手順｜数A整数

の整数解を求める問題は、手順が決まっています。ところが「特殊解を1つ見つける」ところで止まる人が多い。

そしてなぜ引き算をするのか、なぜ最後に「互いに素だから」と言うのか——ここが分からないと、答えの形を丸暗記することになります。

結論：4ステップ

1. 解があるか確かめる（ が の最大公約数の倍数か）
2. 特殊解を1つ見つける（代入で探す、または互除法を逆にたどる）
3. もとの式から特殊解の式を引く
4. 互いに素を使って一般解を書く

ステップ3の引き算が要です。定数 を消すために引きます。

ステップ1：解があるかどうか

整数解をもつ　⇔　 が と の最大公約数の倍数

理由は簡単です。 と の最大公約数を とすると、 はいつも の倍数だから。

解がない例

最大公約数は2。左辺は必ず偶数ですが、右辺は5で奇数。解はありません。

約分できる例

先に約分すると、以降の計算が楽になります。約分後は と が必ず互いに素になり、ステップ4がそのまま使えます。

ステップ2：特殊解を1つ見つける

の整数解をすべて求めよ。

7と5は互いに素なので、解はあります。 に小さい整数を入れて、 が整数になるものを探します。

0	3	×
1		×
	10	2 ○

が見つかりました。

【検算】代入します。

○　数が大きくて見つからないときは互除法を逆にたどります（後で扱います）。

ステップ3：引く

2つの式を並べます。

辺々引くと、右辺の3が消えます。

これが引き算をする理由です。定数項が消えて、倍数の関係だけの式になります。

ステップ4：互いに素を使う

いまの式を見ます。

右辺は7の倍数です（左辺がそうだから）。ところが7と5は互いに素なので、7は5を割り切れない。

したがって7は のほうを割り切るしかありません。

（ は整数）

これを代入すると

まとめると

　（ は整数）

この一段が省かれやすい

「互いに素な2数のうち、一方が積を割り切るなら、もう一方の因数を割り切る」——これは整数論の基本的な性質です。

ここを使わないと「 が5の倍数」と言い切れません。公式の暗記ではなく、この一段が本体です。

検算する

【検算1】一般解をもとの式に代入します。

が消えて3になりました ○　どんな でも成り立ちます。

【検算2】いくつか具体的に入れてみます。

		9	○
0		2	○
1	4		○
2	9		○

は5おき、 は7おきに並んでいます。これが解の構造です。

数が大きいとき：互除法を逆にたどる

の整数解をすべて求めよ。

ステップ1：約分

1071と1029の最大公約数は21（互除法で求まります）。21は21の倍数なので解はあります。両辺を21で割ると

51と49は互いに素です。

ステップ2：特殊解

互除法の式を逆にたどると（あるいは代入で探すと）

。

ステップ3・4

51と49は互いに素なので 、。

【検算】代入します。

が消えて1 ○

もとの式でも確かめます。 のとき

○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 特殊解の見つけ方が「探す」作業で、手順に書き下せないから

ステップ1、3、4は機械的な操作です。ところがステップ2だけは試行錯誤か互除法の逆算。

教科書では特殊解が例示として与えられる形になりやすく、自分で探す練習の場面が確保されにくい。ここで詰まる人が多いのに、そこが最も練習量を要する部分です。

2. 「互いに素だから割り切れる」の根拠が別の話題だから

ステップ4で使う性質は素因数分解の一意性や互除法に支えられています。

しかしそれ自体は約数と倍数の項目で扱われる内容で、不定方程式の解法の中では「互いに素だから」の一言で通過されやすい。結論だけを覚えると、 と が互いに素でない場合に誤って同じ形を書いてしまいます。

3. 整数の性質が数Aの最後に置かれているから

場合の数・確率・図形の性質のあと、単元としては最後に来ます。しかも不定方程式はその中でもさらに後半。

学年末に近い時期に、手順の多い内容が来るという構成上、解の形を覚えて当てはめる対応になりやすい位置にあります。

【検算】3つの方法

1. 一般解を代入して が消えるか

最も確実です。 が残ったら符号か係数が違います。

【検算】 ○

2. に3つくらい値を入れる

で確かめれば、符号のミスはほぼ発見できます。

【検算】、、 すべて成立 ○

3. 解の間隔を確認する

は おき、 は おき（約分後の ）

【検算】： が と5おき、 が と7おき ○

間隔が合わなければ、 と を取り違えています。

よくあるミス

ミス1：解の存在を確かめずに始める

が最大公約数の倍数かを先に見ます。 は解なし。

ミス2：約分せずに進める

互いに素にしてからステップ4を使います。約分を飛ばすと解の間隔を間違えます。

ミス3： と の係数を入れ替える

の変化幅は 、 の変化幅は 。逆です。

ミス4：符号を落とす

のマイナスを忘れると、 の符号が逆になります。

ミス5：特殊解を探すとき だけ大きく動かす

個も試せば必ず見つかります（互いに素なら）。それ以上動かす必要はありません。

ミス6：一般解を1つの解だけで答える

「すべて求めよ」なら を含む形で答えます。

練習問題

1. の整数解をすべて求めなさい。
2. 1の答えで と のときを確かめなさい。
3. の整数解をすべて求めなさい。
4. に整数解があるか判定しなさい。
5. の整数解をすべて求めなさい。
6. の整数解をすべて求めなさい。
7. の整数解をすべて求めなさい。

解答

1. 特殊解 。。検算： ○
2. で ： ○　 で ： ○
3. 特殊解 （）。。検算： ○
4. 最大公約数は2、5は2の倍数でないので解なし（左辺は必ず偶数）
5. 約分して 。特殊解 。。検算： ○
6. 約分して 、特殊解 。。検算： で ○
7. 特殊解 （）。。検算： ○

まとめ

• ①存在確認 ②特殊解 ③引く ④互いに素——この4ステップ
• 解をもつのは が最大公約数の倍数のときだけ
• 先に約分して を互いに素にする
• 引くのは定数項を消すため：
• 最後の一段は「互いに素な数は相手の因数を割り切る」
• 一般解は の形（約分後の ）
• 検算は代入して が消えるか／ を3つ入れる／間隔が と か

不定方程式は「1つ見つけて、そこからずらす」という形をしています。この構造は、数Bの漸化式の一般解や、数IIの三角方程式の一般解とまったく同じです。特殊解＋周期的なずれ——この形を一度理解しておけば、別の単元で同じ形に出会ったときに迷いません。