∞/∞の不定形の処理がわからない｜数III極限

は「不定形」と呼ばれます。なぜ不定なのか——ここが分かると、処理の方法も自然に見えてきます。

結論：最も強い項で割る

分母の最高次で、分子・分母の両方を割る

すると各項が の形になり、0に飛んで値が確定します。

なぜ「不定」なのか

同じ でも、答えが違うからです。

式	形	極限
		2
		0

3つとも「大きい ÷ 大きい」ですが、答えは2、、0とバラバラ。

だから「 だから〇〇」とは言えない——これが不定形の意味です。どちらがどれくらい速く大きくなるかで決まります。

【検算】 で確かめます。

確かに2に近い・大きくなる・0に近い ○

やってみる1：多項式の分数式

を求めよ。

分母の最高次は 。分子・分母を で割ります。

で 、 なので

【検算1】大きい を代入します。

	分子	分母	比
10	319	65	約4.91
1000	3001999	996005	約3.014
100000	—	—	約3.0001

3に近づいています ○

【検算2】最高次の係数の比を見ます。分子が 、分母が なので ○

次数で見当がつく

次数の関係	極限
分子 > 分母	（発散）
分子 = 分母	最高次の係数の比
分子 < 分母	0

答えの見当をつけるのに使えます。計算結果がこれと食い違ったら、どこかで間違えています。

【検算】3つ確かめます。

• ：分子2次、分母1次 → 。実際 ○
• ：分子1次、分母2次 → 0。実際 ○
• ：同次 → ○

やってみる2：ルートを含む形

を求めよ。

ルートの中も で割ります。 なので と考えると

で

【検算】 で計算します。

1に近い ○

【検算2】 は より少しだけ大きい。だから比は1より少し大きい値から1に近づくはず ○

やってみる3： も同じ手法に持ち込む

を求めよ。

そのままでは で不定形。有理化します。

分子は和と差の積なので

の形になりました。あとはいつもどおり で割ります。

【検算1】 で計算します。

に近い ○

【検算2】 では 、差は約 ○　 が大きいほど0.5に近づく

有理化して に持ち込む——これが の定石です。

なぜ「最高次で割る」とうまくいくのか

割ったあとの各項は の形になります。

、、

これらは「不定形ではない」ので、そのまま0にできます。

つまり不定形を、確定した極限の組み合わせに書き換えている——これが処理の本質です。

【検算】 で 、。どちらもほぼ0 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「不定形」という言葉の意味が説明されにくいから

が不定形なのは答えが場合によって変わるからです。

ところが「不定形なので変形する」という手順として提示されると、なぜ変形が必要なのかが伝わりません。3つの例で答えがバラバラになるのを見れば、一瞬で納得できます。

2. 「最高次で割る」の理由が省かれやすいから

この操作は「不定形を、確定した極限に書き換える」ためのものです。

ところが手順として速く、確実に答えが出るので、理由を考えなくても解けてしまう。するとルートや など形が変わった途端に手が止まります。

3. 次数による速算が「検算の道具」として示されにくいから

次数を比べれば答えの見当がつきます。同次なら係数の比、分母が高次なら0。

これは計算の代わりではなく検算として使うものですが、解法とは別の位置づけなので、扱われる場面が限られます。知っていれば、答えの妥当性が一瞬で判断できます。

【検算】3つの方法

1. 大きい を代入する

最も直感的です。 くらいで近づいているか見ます。

【検算】。3に近い ○

2. 次数で見当をつける

同次なら係数の比、分母が高次なら0、分子が高次なら発散。

【検算】 の係数比は3 ○

3. 割ったあとの各項が0に行くか確認する

の形になっていれば0です。なっていなければ割り方が足りません。

【検算】：すべて0へ ○

よくあるミス

ミス1： とする

決まりません。だから不定形です。

ミス2：分子の最高次で割る

分母の最高次で割ります。分母が1に近づく形にするためです。

ミス3：ルートの中を割り忘れる

ルートの中は で割ります（外は ）。次数が違います。

ミス4： をそのまま0とする

不定形です。有理化して に直します。

ミス5： の場合に とする

です。 では符号に注意。

ミス6：発散するのに有限の値を答える

次数で見当をつけると防げます。

練習問題

1. を求めなさい。
2. を求めなさい。
3. を求めなさい。
4. を求めなさい。
5. を求めなさい。
6. 1と5を で数値的に確かめなさい。
7. 次数による判定法をまとめなさい。

解答

1. で割って 3
2. で割って 0（分母のほうが高次）
3. （分子のほうが高次）
4. 1
5. 有理化して
6. 1は約3.014、5は約0.4999。それぞれ3と0.5に近い ○
7. 分子＞分母で発散、同次で係数比、分子＜分母で0

まとめ

• 不定形とはそのままでは値が決まらない形（答えが場合による）
• は分母の最高次で割る
• 割ると各項が になり値が確定する
• ルートは中を で割る
• は有理化して に持ち込む
• 次数で答えの見当がつく
• 検算は大きい を代入／次数の判定／各項が0に行くか

極限の計算は「不定形を、確定形に書き換える作業」です。割る・有理化する・置き換える——手段は違っても、目的はいつも同じ。どこが不定形なのかを見つけたら、そこを崩す。この視点があれば、初めて見る形でも方針が立ちます。