不等式で両辺を負の数で割ると不等号が逆になる理由｜数I数と式

を解くと 。不等号の向きが変わる。「負の数で割ったら逆にする」と覚えていても、なぜ逆になるのかは説明されないまま使っている人が大半です。

理由は数直線を見れば一目です。そして理由が分かると、文字で割るときに場合分けが必要な理由も同時に分かります。

結論： 倍は数直線の反転だから

をかけるという操作は、数直線上で原点を中心にひっくり返すことです。

もとの数	倍

もともと でした。 倍すると と になり

大小が入れ替わりました。右にあったものが左に、左にあったものが右に移るからです。

だから 倍（＝負の数をかける・割る）すると、不等号の向きが逆になる。

【検算】いくつか確かめます。

もとの不等式	倍	正しいか
		○
		○
		○

3つとも向きが逆になっています ○

正の数のときは変わらない

対比しておきます。正の数をかけても向きは変わりません。

を3倍すると 。向きはそのまま。

理由も同じ発想です。正の数倍は、数直線を原点から引き伸ばす（または縮める）だけで、左右の順序は変わりません。

正の数倍＝伸縮（順序そのまま）／負の数倍＝反転（順序が逆）

0倍は使えない

を0倍すると と 。等しくなってしまい、不等式が壊れます。

だから0で割ることも、0をかけることもできません。

足し算・引き算では変わらない

もう1つ確認しておきます。両辺に同じ数を足しても引いても、向きは変わりません。

に3を足すと 。 を足しても 。どちらも向きはそのまま ○

理由は平行移動だからです。2つの点を同じ方向に同じだけずらしても、左右の関係は変わりません。

操作	不等号
両辺に同じ数を足す・引く	変わらない
両辺に正の数をかける・割る	変わらない
両辺に負の数をかける・割る	逆になる
両辺に0をかける	使えない

向きが変わるのは負の数をかけ割りするときだけです。

実際に解く

を解きなさい。

両辺を で割ります。負の数なので向きを逆にします。

【検算】範囲の中と外で試します。

• （範囲内） … ○
• （範囲内） … ○
• （境界） … は偽 ○（等号は含まない）
• （範囲外） … は偽 ○

境界の内外で正しく切れています ○

向きを変えない解き方もある

負の数で割るのが不安なら、移項して正にできます。

両辺に を足し、両辺から6を引きます。

両辺を正の数2で割るので向きはそのまま。

同じ答えです ○。 の係数を正にしてから割る——この方法なら、向きを逆にする場面がなくなります。

文字で割るときは場合分けが必要

ここが本題です。理由が分かると、この重要な事実が自然に出てきます。

を について解きなさい（ は0でない実数）。

で割りたいのですが、 の符号が分かりません。だから場合分けします。

• のとき … 正の数で割るので向きはそのまま。
• のとき … 負の数で割るので向きが逆。

答えが2通りに分かれました。

【検算】具体的な値で確かめます。

• のとき … より ○（ の場合と一致）
• のとき … より ○（ の場合と一致）

数値でも確認します。、 なら左辺 、右辺 。 で成立 ○。 なら左辺 、右辺 で は偽 ○

「文字で割るときは符号を確認する」——これは高校数学で繰り返し出てくる原則です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 規則だけで正解できてしまうから

「負の数で割ったら逆にする」は3秒で覚えられ、すべての問題で正解できます。理由に戻る必然性が構造的に発生しません。

ほころびが出るのは文字で割るときです。そこで初めて「符号が分からないと割れない」という状況に直面します。

理由（反転）を理解していれば、文字で割るときの場合分けも当然のこととして受け入れられます。

2. 中1で不等式を扱わないから

方程式は中1で学びますが、不等式が本格的に登場するのは数Iです。等式の性質（両辺に同じ数をかけてよい）は中1で扱われるのに、不等式の性質は数Iまで待つことになります。

この空白のあいだに「両辺に同じ数をかけてよい」という感覚だけが残り、符号の条件が抜け落ちる——という順序になりやすいのです。

3. 数直線での説明が省かれやすいから

反転という説明は図を描く必要があります。ところが規則そのものは1行で書けるため、説明より規則の提示が優先されやすい。

の両辺を 倍すると ——この1例を自分で確かめるだけで、理由は納得できます。

【検算】3つの方法

1. 具体的な数を代入する

最も確実です。範囲の内側・境界・外側の3点で試します。

不等式	答え	内側	外側
		→ ○	→ ×
		→ ○	→ ×
		→ ○	→ ×

内側で成り立ち、外側で成り立たなければ正解です。

2. 移項して係数を正にする

別の解き方で同じ答えになるかを確かめます。負の数で割らずに解けば、独立した検算になります。

3. 向きが変わった回数を数える

負の数で割った（かけた）回数が奇数なら向きが変わり、偶数ならもとに戻ります。

途中で2回逆にしていたら、もとの向きに戻っているはずです。

よくあるミス

ミス1：負の数で割ったのに向きを変えない

最も多いミスです。 を としてしまう。

【検算】 を入れると で偽。誤りだと分かります ○

ミス2：足し算・引き算でも向きを変える

足し引きでは変わりません。変わるのは負の数のかけ割りだけです。

ミス3：文字で割るときに場合分けしない

符号が分からない文字では割れません。 と に分けます。

ミス4：0で割る

0では割れません。文字で割るときは も確認します。

ミス5：両辺を2乗して向きを保つ

2乗では向きが保たれるとは限りません。 ですが2乗すると 。

両辺が0以上のときだけ2乗しても向きが保たれます。

練習問題

1. を解きなさい。
2. を解きなさい。
3. を解きなさい。
4. 3を、移項して係数を正にする方法でも解きなさい。
5. （）を について解きなさい。
6. の両辺を 倍した式を書きなさい。

解答

1. で割って向きを逆にし。検算： で ○、 で は偽 ○
2. 両辺から5を引いて 。 で割って。検算： で ○
3. 両辺から4を引いて 。 で割って。検算： で ○
4. の両辺に を足して 。10を引いて 。2で割って 、つまり。3と同じ ○
5. のとき、 のとき。検算： なら 、 なら より ○
6. 。向きが逆になります。検算： は より右にある ○

まとめ

• 倍は数直線の反転。だから大小が入れ替わる
• 向きが変わるのは負の数をかけ割りするときだけ
• 足し引きは平行移動、正の数倍は伸縮。どちらも順序は変わらない
• 0では割れない。0倍すると不等式が壊れる
• 不安なら移項して係数を正にしてから割る
• 文字で割るときは符号で場合分け（ と ）
• 検算は内側・境界・外側で代入／別の解き方と突き合わせる

「文字で割るときは符号を確認する」という原則は、数Iの不等式だけでなく、数IIの分数不等式、数IIIの極限や微分の増減判定まで、高校数学の全域で使われます。割る相手の符号が分からないなら、場合分けする——この反射を数Iのここで作っておくと、後の学年で条件を落とす失点が大きく減ります。