合同条件が3つとも覚えられない・使い分けられない｜中2平行と合同

三角形の合同条件は3つ。「3組の辺」「2組の辺とその間の角」「1組の辺とその両端の角」。覚えてはいるのに、証明問題で「どれを使えばいいか」が出てこない——中2でいちばん多い状態です。

暗記の問題ではありません。「なぜ3つで足りるのか」と「図のどこを見るか」が分かれば、使い分けは自動的に決まります。

結論：分かっている辺と角を数えて、当てはまる型を選ぶ

分かっているもの	合同条件	記号
辺3つ	3組の辺がそれぞれ等しい	SSS
辺2つ＋その間の角	2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい	SAS
辺1つ＋その両端の角	1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい	ASA

証明を書くときの手順はこうです。

1. 与えられた条件から等しいと言える辺・角を全部書き出す
2. 共通の辺・対頂角・平行線の錯角など、図から自動的に言えるものを足す
3. そろった3つが上のどの型かを判定する

「どれを使うか」を最初に決めるのではなく、集めた結果として決まります。ここが逆になっていると手が止まります。

なぜ3つの情報で形が決まるのか

三角形には辺3つ・角3つの計6つの要素があります。ところが3つ決めれば残りも決まってしまう——だから合同条件は「3つ」なのです。

SSS：3辺が決まれば形は1つ

長さ3・4・5の棒を3本用意して三角形を作ってみてください。作り方は1通りしかありません（裏返しを除く）。辺の長さだけで角度まで決まってしまいます。

SAS：「間の角」でなければならない理由

2辺とその間の角が決まれば、残りの1辺は自動的に決まります。実際、余弦定理（数Iで習います）が

と、2辺と間の角から残りの辺を計算できることを示しています。

ところが「間ではない角」だと決まりません。これがSSAが合同条件にならない理由です。後で反例を見ます。

ASA：1辺と両端の角で決まる理由

1辺を引いて、その両端から決まった角度で線を伸ばすと、交点は1つしかありません。だから三角形が1つに決まります。

なお「1組の辺とその他の2角」でも、三角形の内角の和が180°なので残りの角が計算でき、結局ASAに帰着します。

【検算】SSAが合同条件にならないことの確認

「2辺とその間でない角」では三角形が決まらない——これを具体的な数値で確かめます。

、、 という条件を考えます。角Aは辺ABと辺BCの間の角ではありません。

点Bから距離4の点Cを、角Aの反対側の辺上に取ると——候補が2つ現れます。

正弦定理から 。

を満たす角は と の2つあります。

場合			（余弦定理）
1	約48.59°	約101.41°	約7.84
2	約131.41°	約18.59°	約2.55

同じ「2辺と1角」なのに、まったく違う三角形が2つできました。だからSSAは合同条件になりません。

「間の角」という言葉は飾りではなく、これがないと形が定まらないという意味です。

図から自動的に言える3つ

証明で条件が足りないと感じたら、次の3つを疑ってください。問題文に書かれていなくても使えます。

1. 共通な辺・共通な角

2つの三角形が1辺を共有しているとき、その辺は当然等しいです。

例： と に共通な は 。

2. 対頂角

2直線が交わってできる向かい合った角は等しくなります。線分が交差する図では必ず確認します。

3. 平行線の錯角・同位角

「」と書かれていたら、錯角と同位角が使えます。平行の条件が与えられているのに使っていないなら、まだ見落としがあります。

証明の書き方（型）

次の形で書けば、どの問題でも通用します。

1. △○○○ と △△△△ において（比べる2つの三角形を宣言）
2. 等しい辺・角を3つ並べ、それぞれ理由を書く
3. 「〜がそれぞれ等しいので」と合同条件を明記
4. △○○○ ≡ △△△△
5. （必要なら）合同な図形の対応する辺・角は等しいので、結論を書く

例で書いてみます。

問題：線分 と が点 で互いの中点で交わるとき、 を証明せよ。

証明

と において、

• は の中点なので …①
• は の中点なので …②
• 対頂角は等しいので …③

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

合同な図形の対応する辺は等しいので 。（証明終）

③の対頂角が「間の角」になっていることを確認してください。 と の間の角が です。ここがずれていると条件を満たしません。

よくあるミス

ミス1：「間の角」でないのにSASと書く

いちばん多いミスです。2辺と1角がそろっても、その角が2辺の間にあるかを必ず確認します。上で見たとおり、間でなければ三角形は決まりません。

確認方法：角の頂点が、2つの辺の共有点になっているか。 と なら共有点は なので、間の角は です。

ミス2：対応する順番を間違えて書く

と書いたら、、、 が対応します。順番が違うと、そこから導く辺や角も違うものになります。

ミス3：理由を書かずに等式だけ並べる

と書くだけでは不十分で、「 は の中点なので」という根拠が必要です。証明は「なぜそう言えるか」の連なりです。

練習問題

1. 3つの合同条件を、記号（SSS・SAS・ASA）とともに書きなさい。
2. 「2組の辺と1組の角がそれぞれ等しい」は合同条件になるか。理由も述べなさい。
3. の二等辺三角形 で、 の二等分線と の交点を とする。 を証明しなさい。
4. 問題3の結果から、 と が言える理由を述べなさい。

解答

1. SSS：3組の辺がそれぞれ等しい／SAS：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／ASA：1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
2. ならない。角が2辺の間にない場合（SSA）、条件を満たす三角形が2つ存在しうる。本文の が反例
3. と において、（仮定）…①、（ は の二等分線）…②、（共通）…③。①②③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
4. 合同な図形の対応する辺は等しいので 。また対応する角が等しいので 。この2つの和が180°（ が一直線上）だから、それぞれ90°。よって

まとめ

• 合同条件は暗記より「集めた結果で決まる」もの。先に選ぼうとしない
• 三角形の6要素のうち3つ決まれば残りも決まるから、条件は3つで足りる
• SSAは合同条件にならない。三角形が2つできる場合がある
• 条件が足りないときは共通の辺・対頂角・平行線の錯角を疑う
• 証明は等式＋根拠のセットで書く。合同条件名を必ず明記する
• の左右は対応する順番で書く

合同は中3の相似、円周角、三平方の定理へそのままつながります。さらに高校では「証明の書き方」そのものが問われ続けます。ここで「根拠を並べて結論に至る」型を身につけておくと、後の単元で書き方に悩まなくなります。