合同式（mod）の使いどころがわからない｜数A整数

合同式は「余りが等しい」を書き表す記号です。ただの言い換えに見える。それで何が便利なのか——ここが分からないと使う気になりません。

答えは1つです。余りだけを持ち歩ける。巨大な数をそのまま扱わず、小さな余りだけで計算を進められます。

結論：余りだけで足し算・かけ算ができる

　⇔　 が の倍数　⇔　 で割った余りが等しい

この記号のよいところは、等式と同じように計算できることです。

、 のとき（すべて ）

足す・引く・かける・累乗する——どれも余りのままできます。

ただし割り算はできない

ここが最大の注意点です。

両辺を2で割ると になってしまいますが、これは成り立ちません（3を6で割った余りは3）。

割ってよいのは、割る数が と互いに素なときだけです。等号と同じ記号に見えるので、油断すると必ずここで間違えます。

使いどころ1：大きい数の余り

を5で割った余りを求めよ。

を計算する必要はありません。まず7を小さくします。

累乗しても成り立つので

次に1になる累乗を探します。

4乗で1に戻りました。 なので

余りは1です。

【検算】7の累乗の余りを直接調べます。

	1	2	3	4	5
	7	49	343	2401	16807
5で割った余り	2	4	3	1	2

周期4で繰り返しています。 は4の倍数なので、 と同じ余り1 ○

使いどころ2：一の位を求める

の一の位を求めよ。

一の位＝10で割った余りです。

周期4。 なので

一の位は1です。

【検算】 の一の位は1、 の一の位も1 ○　4の倍数乗で1になっています。

使いどころ3：倍数判定の理由が分かる

「各位の数の和が9の倍数なら、その数は9の倍数」——この理由も合同式で説明できます。

だから、累乗しても

したがって、たとえば4桁の数は

もとの数と各位の和が、同じ余りになる。これが判定法の正体です。

【検算】1234567を9で割った余りを求めます。各位の和は

28の各位の和は 、さらに 。余りは1のはずです。

実際に割ると 。一致 ○

11の判定は交互に足し引き

なので 。だから1桁ごとに符号が入れ替わります。

使いどころ4：解がないことを示せる

を満たす整数 は存在しないことを示せ。

4で割った余りを見ます。まず整数の2乗が4で割ってどんな余りになるか調べます。

	0	1	2	3
	0	1

2乗は必ず0か1です。したがって

3にはなりません。一方

だから整数解は存在しません。

【検算】、 ○

「存在しない」を示すのは本来とても難しいのに、余りを見るだけで一発で片づきました。これが合同式の最大の威力です。

使いどころ5：連立の条件

3で割ると2余り、5で割ると3余る自然数のうち、最小のものを求めよ。

3で割って2余る数は 。このうち5で割って3余るものを探すと8。

【検算】 ○、 ○

3と5は互いに素なので、条件を満たす数は15おきに並びます。

【検算】23： ○、 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 記号を使わなくても解けてしまうから

「 と表せる」という書き方でも、多くの問題は解けます。合同式はあくまで表記を簡単にする道具です。

そのため発展的な内容として扱われることが多く、標準の流れでは余りによる分類（）で進む構成になりやすい。記号の便利さを実感する場面が確保されにくい位置にあります。

2. 「割り算ができない」という制限が見落とされやすいから

合同式は見た目が等式そのものです。足す・引く・かけるが自由にできるので、割り算もできると錯覚します。

ところが割り算だけは条件つき。この制限は説明されても短い注意書きにとどまりやすく、演習の中で失敗して初めて気づくことが多い部分です。

3. 整数の性質が数Aの最後に置かれているから

約数と倍数、互除法、不定方程式と続いたさらに後に来ます。

学年末に近づくほど時間の余裕がなくなるという構成上、入試での有用性に対して扱いが小さくなりやすい。実際には「余りを見て矛盾を出す」問題は繰り返し出題されます。

【検算】3つの方法

1. 小さい数で実際に割ってみる

周期を見つけたら1周分を書き出して確かめます。

【検算】： で1周 ○

2. 余りが範囲に入っているか

負の数や 以上が出たら直します。。

3. 別の法（mod）でも確かめる

解の存在を否定するときは複数の法で試すと確実です。

【検算】： で矛盾。実際に を0から45まで動かして が平方数になるものを探しても1つもありません ○

よくあるミス

ミス1：両辺を割ってしまう

法と互いに素なときだけ割れます。

ミス2：法を書き忘れる

が抜けると意味が決まりません。必ず書きます。

ミス3：周期を数え間違える

1に戻る指数を探します。 なら周期4。

ミス4：指数を法で割ってしまう

指数は周期で割ります、法で割るのではありません。 は を見ます。

ミス5：負の余りをそのままにする

は便利ですが、最終的な答えは0以上 未満に直します。

ミス6：「余りが同じ」と「等しい」を混同する

は ではありません。

練習問題

1. を5で割った余りを求めなさい。
2. の一の位を求めなさい。
3. を7で割った余りを求めなさい。
4. 1234567を9で割った余りを求めなさい。
5. に整数解がないことを示しなさい。
6. 3で割ると2余り、5で割ると3余る自然数のうち最小のものを求めなさい。
7. だが であることを確かめなさい。

解答

1. 、、 より1。検算： の余りが1 ○
2. 、 より1
3. 、 より1。検算： ○
4. 各位の和 、さらに 、 より1。検算： ○
5. または なので 。一方 。よって解なし
6. のうち5で割って3余るのは8。検算：、 ○
7. 、 なので左は成立。しかし3を6で割った余りは3で0ではない。2と6が互いに素でないため割れない

まとめ

• 合同式は「余りが等しい」を等式のように書く記号
• 足す・引く・かける・累乗するは自由にできる
• 割り算だけは、法と互いに素なときのみ
• 大きい累乗は1に戻る周期を探す
• 倍数判定法は 、 から出る
• 解が存在しないことを示すのに最も強い
• 検算は小さい数で実際に割る／余りの範囲／別の法でも試す

合同式の本質は「必要な情報だけを残して、残りを捨てる」という考え方です。 の正確な値は不要で、5で割った余りだけが必要なら、最初から余りだけ持ち歩けばよい。この割り切りができるようになると、整数問題は一気に軽くなります。