合成関数の微分（連鎖律）で混乱する｜数III微分法

合成関数の微分は「外側 × 内側」と習います。ところが実際にやると外側に何を代入するのかで止まる。

答えは1つです。外側を微分するとき、内側はそのまま残す。

結論：4ステップ

1. 内側（かたまり）を とおく
2. 外側を で微分する（ はそのまま）
3. 内側を で微分する
4. かける

ステップ3を忘れるのが最頻出のミスです。

なぜ掛け算なのか

変化率の連鎖として考えます。

が少し動く　→　 が動く　→　 が動く

• が 動くと、 は約 動く
• が 動くと、 は約 動く

組み合わせると、 は約 動く。 で割れば変化率は積になります。

「分数のように約分できる」形で覚えられます（実際は約分ではありませんが、形は同じです）。

やってみる1：

ステップ1・2

内側は 、外側は 。外側を微分すると 。

を戻すと ——ここで内側はそのままです。

ステップ3・4

内側の微分は 。かけて

【検算1】 で数値微分と比べます。

数値微分（）は

一致 ○

【検算2】もし内側の微分を忘れて とすると 。数値微分の半分で明らかに違います ○

やってみる2：

外側は で微分すると 。内側 の微分は3。

【検算】 では 。数値微分は

一致 ○

【検算2】 の3を忘れると1になり、3分の1になります ○

やってみる3：

外側は で微分しても 。内側 の微分は 。

【検算】 では 。数値微分は

一致 ○

【検算2】 では 。実際 は で最小なので接線が水平 ○

やってみる4：3重の合成

を微分せよ。

外側から順に剥がします。

層	形	微分
いちばん外
まん中
いちばん内

すべてかけると

2倍角の公式 を使うと

【検算1】 で計算します。 なので

一方 。一致 ○

【検算2】層が3つなら掛ける因子も3つ。数え忘れがないか確認できます ○

「外側はそのまま」を具体的に

これが最大のつまずきなので、もう一度。

関数	外側の微分	正しい	誤り

内側のかたまりを、そのまま入れたまま外側だけ微分する。形は変えません。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「外側を微分」の意味が言語化されにくいから

という記号は正確ですが、操作としては読み取りにくい。

「内側をかたまりのまま置いて、外側だけ微分する」という日本語の手順があると、迷いが減ります。ところがこれは記号の説明ではないので、教科書に書きにくい部分です。

2. 掛け算になる理由が省かれやすいから

は変化率の連鎖です。

ところが厳密な証明には極限の議論が必要で、高校では結果を認めて使う形になりやすい。「変化が2段階で伝わる」という直感だけでも持っておくと、忘れにくくなります。

3. 「内側の微分を忘れる」ミスの検出法が示されにくいから

この誤りは形がそれらしいので、自分では気づきにくい。

数値微分と比べるという検算があれば一発で分かりますが、数値で確かめる習慣は答案の作法とは別なので、扱われにくい部分です。

【検算】3つの方法

1. 数値微分と比べる

（ など）

【検算】 の ：数値でも公式でも810 ○

2. 簡単な場合に展開して確かめる

なら展開できます。 の微分は 。

公式では 。一致 ○

3. 内側の微分を掛けたか確認する

層の数と、掛けた因子の数が合っているかを数えます。

【検算】 は3層 → 因子3つ（、、）○

よくあるミス

ミス1：内側の微分を掛け忘れる

最頻出です。 なら が必要。

ミス2：外側の微分で内側を にしてしまう

内側はそのまま。 であって ではありません。

ミス3：多重の合成で層を数え落とす

層の数だけ因子があります。

ミス4：積の微分と混同する

合成は「入れ子」、積は「並び」。 は積の微分です。

ミス5：内側が そのものでも掛け忘れる

なので影響はありませんが、手順としては掛けています。

ミス6： を戻し忘れる

最後は の式で答えます。

練習問題

1. を微分しなさい。
2. を微分しなさい。
3. を微分しなさい。
4. を微分しなさい。
5. 1を で数値微分と比べなさい。
6. を展開して微分し、公式と一致することを確かめなさい。
7. 内側の微分を忘れると、1の答えはどうなるか答えなさい。

解答

2. 。検算： で3、数値微分も約3 ○
3. 。検算： で0（最小点）○
5. 公式で810、数値微分でも約810.0。一致 ○
6. 展開 の微分は 。公式でも ○
7. となり、正しい答えの半分（ が抜ける）

まとめ

• 手順は①内側を ②外側を微分（内側はそのまま） ③内側を微分 ④かける
• 掛け算になるのは変化率が2段階で伝わるから
• 外側を微分するとき、内側の形は変えない
• 多重の合成は層の数だけ因子
• 内側の微分を忘れるのが最頻出のミス
• 検算は数値微分／展開して確認／因子の数

連鎖律は「変化が伝わる仕組み」を式にしたものです。歯車がかみ合って回転が伝わるように、 の変化が を通って に届く。その伝わり方の倍率が、掛け算になる。この見方を持てば、置換積分（積分での連鎖律）も同じ話だと分かります。