群数列で何番目かを求める手順｜数B数列

群数列は手順さえ決まれば難しくありません。迷うのは、何から手をつけるか分からないからです。

最初にやることは常に同じ。「第 群の最後の項が、全体で第何項か」を出す。これが全部の入口になります。

結論：まず「区切りの項番号」を出す

第 群に 個ずつ入る群数列を考えます。

1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 |

第1群から第 群までの項数の合計は

したがって

第 群の末項は、全体の第 項

【検算】数えて確かめます。

群	1	2	3	4
項数	1	2	3	4
末項の項番号	1	3	6	10
	1	3	6	10

一致 ○

初項の項番号

第 群の初項は、第 群の末項の次です。

【検算】：。第4群は7, 8, 9, 10 なので初項は第7項 ○

典型問題は3つ

問い	使うもの
第 群の初項・末項	区切りの項番号
第 項は第何群の何番目か	不等式で群を特定
第 群の和	初項・末項・項数

どれも「区切りの項番号」から出発します。

やってみる1：第 群の初項と末項の値

この数列はもとが自然数列なので、項番号と値が同じです。

• 末項の値：
• 初項の値：

【検算】：末項 ○、初項 ○

【検算2】：末項6、初項4。第3群は4, 5, 6 ○

やってみる2：第100項は第何群の何番目か

末項の項番号が100以上になる最初の群を探します。

	13	14
100以上か	×	○

第14群です。第13群までで91項使っているので

第14群の9番目。

【検算】第14群は第92項から第105項まで（14個）。

確かに9番目 ○

【検算2】項数を確認します。 ○　第14群は14個 ○

この数列では値も100です（項番号と値が一致するため）。

やってみる3：第 群の和

第 群は初項 、末項 、項数 の等差数列（公差1）です。

等差数列の和は（初項＋末項）× 項数 ÷ 2 なので、まず初項と末項を足します。

したがって和は

【検算1】：第4群は 。公式では

一致 ○

【検算2】：。公式では ○

【検算3】：和は1。公式では ○

もとが自然数列でない場合

の第 群の和を求めよ。

もとの数列は奇数列で、全体の第 項の値は 。

末項の値

末項は第 項なので、値は

初項の値

初項は第 項なので

和

初項と末項を足すと

項数 なので

第 群の和は ——きれいな結果になりました。

【検算1】：。 ○

【検算2】：。 ○

【検算3】初項と末項の式。 で初項 ○、末項 ○

【検算4】末項の項番号。 で 、第6項の値は ○

ここで大事なのは「項番号」と「値」を分けて考えることです。項番号は群の構造で決まり、値はもとの数列で決まります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「区切りの項番号を先に出す」という手順が示されにくいから

群数列の問題は設問ごとに聞かれ方が違います。だから問題ごとに考える形になりやすい。

ところが入口は常に同じ——第 群の末項が第何項か。この一手を最初に打つと決めておけば、どの設問にも対応できます。共通の手順として明示されにくいのが、この単元の難しさです。

2. 「項番号」と「値」の区別が混ざりやすいから

もとが自然数列だと項番号と値が一致します。だから区別しなくても解けてしまう。

ところが奇数列や等比数列が元になると、2つは別物になります。導入の例で区別する必然性がないため、応用で混乱することになります。

3. 群を特定する作業が「探す」形になるから

第 項が第何群かを求めるには、 を満たす最小の を探します。

これは2次不等式を解いてもよいし、いくつか代入して探してもよい。手順が一意でないため、型として教えにくい。実際には代入して探すほうが速いことがほとんどです。

【検算】3つの方法

1. 実際に書き出して確かめる

第4群くらいまでなら書けます。公式の値と照合します。

【検算】第4群は 。初項7、末項10、和34 ○

2. 項数の合計が合っているか

（末項の番号）（初項の番号） が群の項数になるはずです。

【検算】第14群： ○

3. 小さい で公式を確認する

を代入します。

【検算】： で1、 で5（）○

よくあるミス

ミス1：項番号と値を混同する

別物です。もとの数列を使って値に直します。

ミス2：初項の番号を とする

が必要です。前の群の末項の「次」だから。

ミス3：群の番号を1つずらす

を満たす最小の 。以上か超過かに注意します。

ミス4：何番目かを引き算だけで求める

です。前の群までの項数を引きます。

ミス5：群の項数を確認しない

第 群に何個入るかを問題文で確かめます。 個とは限りません。

ミス6：和の公式で項数を間違える

項数は 個。（初項＋末項）× 項数 ÷ 2 です。

練習問題

について（1〜4）。

1. 第 群の末項は全体の第何項か答えなさい。
2. 第 群の初項は全体の第何項か答えなさい。
3. 第100項は第何群の何番目か求めなさい。
4. 第 群の和を求めなさい。
5. の第 群の和を求めなさい。
6. 5を で確かめなさい。
7. 群数列を解くとき、最初にやるべきことを答えなさい。

解答

1. 第 項。検算： で第10項 ○
2. 第 項。検算： で第7項 ○
3. 、 より第14群の9番目（）
4. 初項＋末項 、項数 より。検算： で34 ○
5. 初項 、末項 、和は
6. ： ○　： ○
7. 第 群の末項が全体の第何項かを出す

まとめ

• 入口は常に「第 群の末項は第何項か」
• 第 群に 個なら末項は第 項
• 初項はその1つ後ろ：
• 項番号と値は別物。値はもとの数列から出す
• 第 項の群は代入して探すのが速い
• 群の和は（初項＋末項）× 項数 ÷ 2
• 検算は書き出す／項数の合計／小さい で確認

群数列は「2重の番号づけ」——群の番号と、群の中の番号——を1本の番号に翻訳する問題です。2つの座標を1つに直すという意味では、座標の考え方とも通じています。区切りの位置さえ押さえれば、あとは足し算と引き算だけです。