背理法の書き方がわからない｜数I集合と命題

背理法は「結論を否定して矛盾を導く」——説明を聞けば分かるのに、いざ書こうとすると1行目から止まる。数Iの論証で最も書き出しに困る証明法です。

ですが背理法には決まった書式があります。3行の型を覚えれば、書き出しで迷うことはなくなります。

結論：3行の型で書く

行	書くこと	書き方
1	結論を否定して仮定する	「〜でないと仮定する」
2	そこから矛盾を導く	計算・論証
3	だから仮定が誤り＝結論が正しい	「これは矛盾。よって〜である」

書き出しは必ず「〜でないと仮定する」です。ここは考える必要がありません。

否定する対象は結論だけ。仮定（問題文で与えられた条件）はそのまま使います。

なぜ矛盾を導くと証明になるのか

論理の構造はこうです。

1. 示したいことを とする
2. でないと仮定する
3. そこから誰が見ても偽の結論（矛盾）が出た
4. 正しい推論から偽が出るのは出発点が偽だったから
5. つまり「 でない」が偽。したがって が真

「 でない」と「 である」のどちらかは必ず正しい——だから片方を潰せば、もう片方が確定します。

【検算】簡単な例で構造を確認します。

を整数とする。 が偶数ならば は偶数であることを、背理法で示しなさい。

1行目： が偶数でない、つまり は奇数だと仮定する。

2行目：（ は整数）と書けるので

は奇数になります。

3行目：これは「 が偶数」という仮定に矛盾。よって は偶数です。

【検算】実際の数で確かめます。 なら 、。確かに奇数 ○。 で整数 ○

そして が偶数になる を から まで調べると、すべて偶数です ○

背理法と対偶の違い

上の例は対偶でも証明できました。どう違うのでしょうか。

	否定するもの	ゴール
対偶	結論と仮定の両方	「」を示す
背理法	結論だけ	矛盾を出す（何でもよい）

背理法のほうが自由度が高い——導く矛盾は何でもよいからです。仮定と矛盾してもいいし、明らかな偽（ など）でもいい。

逆に対偶はゴールが決まっているぶん、方針が立てやすい。

使い分け：「〜でない」を示したいとき、または存在しないことを示したいときは背理法。それ以外で仮定と結論が明確なら対偶が速いことが多い。

典型例： が無理数

背理法でしか示せない最も有名な例です。

が無理数であることを証明しなさい。

1行目： が有理数だと仮定する。

するとこれ以上約分できない分数として と書けます（ は整数、、互いに素）。

2行目：両辺を2乗します。

は偶数。先ほど示したとおり、 も偶数です。そこで と書くと

も偶数。だから も偶数。

3行目： と がどちらも偶数——これは「互いに素」に矛盾します（2で約分できてしまう）。

よって は有理数ではない、つまり無理数です。

【検算】途中の計算を確かめます。

• の両辺が等しいこと … なら で不成立（だから解がない）
• を代入 … より ○

「互いに素なのに両方偶数」という矛盾が核心です。

数値でも確認：。分数で近似すると 。近いが一致しません。

実際 、。1だけ違う ○。どんな分数でもぴったりにはならないのです。

「存在しない」ことの証明

背理法が最も力を発揮する場面です。

を満たす実数 は存在しないことを示しなさい。

1行目：そのような実数 が存在すると仮定する。

2行目： となります。しかし実数の2乗は必ず0以上です。

3行目： と は矛盾。よってそのような実数は存在しません。

【検算】実数の2乗が0以上であることを確認します。 なら9、 なら9、 なら0。すべて0以上 ○

「存在する」を示すには1つ見つければ足りるのに対し、「存在しない」を示すにはすべてを調べるか、背理法を使うしかありません。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 中学で背理法を扱わないから

中学の証明はすべて直接証明です。仮定から出発して結論に至る。「結論を否定してみる」という発想は登場しません。

数Iで初めて逆向きの推論を求められます。3年間積み上げた習慣と逆の動きなので、慣れるまで時間がかかるのは自然です。

2. 「矛盾」の形が問題ごとに違うから

対偶ならゴールが決まっています。ところが背理法ではどんな矛盾が出るか事前に分からない。

• 仮定と矛盾する
• 既知の定理と矛盾する
• のような明らかな偽が出る

「何と矛盾させるか」は問題ごとの判断になり、手順として示しにくい。だから典型例を何個か知っておくことが実用的です。

3. 使う場面が限られるから

背理法が必須なのは、主に「〜でない」「存在しない」を示すときです。それ以外では直接証明や対偶のほうが速いことが多い。

使用頻度が低いぶん練習量も少なくなり、いざ必要になったときに書き方を忘れている——という順序になりやすいのです。

対策は3行の型を覚えてしまうこと。「〜でないと仮定する」から書き始めれば、あとは計算です。

【検算】3つの確認

1. 否定が正しく作れているか

示したいこと	否定（仮定するもの）
は偶数	は奇数
は無理数	は有理数
存在しない	存在する
すべての〜が…	ある〜は…でない

否定を間違えると証明全体が崩れます。最初に確認してください。

2. 矛盾が本当に矛盾か

何と矛盾しているのかを明記します。「仮定に矛盾」「互いに素に矛盾」など、相手を書くのが答案の作法です。

3. 具体例で確かめる

証明したあと、いくつかの値で結論が成り立つことを確認します。

• が偶数 → が偶数： で確認済み ○
• ：どんな実数を入れても左辺は1以上 ○

よくあるミス

ミス1：仮定まで否定する

否定するのは結論だけです。問題文で与えられた条件はそのまま使います。

ミス2：否定を間違える

「無理数」の否定は「有理数」です。「実数でない」ではありません。2択の分類を正しく押さえること。

ミス3：矛盾の相手を書かない

「矛盾する」だけでなく「〜に矛盾する」と書きます。何と矛盾したのかが答案の核心です。

ミス4：結論を書かずに終わる

最後に「よって〜である」と書きます。矛盾を出しただけでは証明が完了していません。

ミス5：矛盾が出ないのに強引に結論する

矛盾が出なければその方針では示せていません。別の矛盾を探すか、方法を変えます。

練習問題

1. 背理法の1行目は何と書き始めるか。
2. 「 は無理数」を背理法で示すとき、何を仮定するか。
3. 「 が3の倍数ならば は3の倍数」を背理法で示すとき、何を仮定するか。
4. 「 を満たす実数は存在しない」ことを示しなさい。
5. が成り立たないことを、2乗して確かめなさい。
6. 「すべての整数 について 」の否定を書きなさい。

解答

1. 「〜でないと仮定する」（結論を否定して仮定する）
2. が有理数であること。互いに素な整数 を使って と表せると仮定します
3. が3の倍数でないこと。 または として を計算します
4. 存在すると仮定すると 。しかし実数の2乗は0以上なので矛盾。よって存在しません。検算： で左辺4、 で8。0にならない ○
5. 、。9801≠9800 なので成り立ちません ○
6. 「ある整数 について 」。「すべて」の否定は「ある〜は…でない」です

まとめ

• 書式は3行。①「〜でないと仮定する」②矛盾を導く ③「よって〜である」
• 否定するのは結論だけ。仮定はそのまま使う
• 成り立つ理由は「 でない」を潰せば が確定するから
• 対偶との違いはゴールの自由度。背理法はどんな矛盾でもよい
• 「存在しない」の証明では背理法がほぼ必須
• 答案には「何に矛盾したか」を明記する
• 検算は否定が正しいか／矛盾の相手が明確か／具体例で確認

背理法は、数Aの整数の性質、数IIIの極限（– 論法）、そして大学以降の数学全般で標準的な道具になります。とくに「無限に存在する」「存在しない」といった主張は、背理法なしでは扱えません（素数が無限にあることの証明も背理法です）。数Iのここで3行の型を身につけておくことが、その先すべての土台になります。