反比例のグラフが双曲線になる理由｜中1比例と反比例

反比例のグラフは、なぜ2本に分かれた曲線になるのでしょうか。なぜ軸に触れないのでしょうか。

理由はすべて「積が一定」から出てきます

反比例 は、変形すると

x と y をかけると、いつも同じ数。ここからグラフの形がすべて決まります。

表で確かめる

の表を作り、 を計算しなさい。

x	1	2	3	4	6	12
y	12	6	4	3	2	1
xy	12	12	12	12	12	12

すべて12——これが反比例の正体です。

【検算】、 ○　xが2倍になればyは半分になっています。

なぜ軸に触れないのか

もしグラフがx軸に触れたら、その点で です。すると

12にはなりません。だからx軸上の点は、けっしてグラフに乗りません。

y軸についても同じです。 なら積は0になってしまいます。

積が0でない限り、どちらの座標も0にはなれない

【検算1】x を小さくしていきます。

x	1	0.5	0.1	0.01
y	12	24	120	1200

y はいくらでも大きくなりますが、x が0になることはありません ○

【検算2】逆に x を大きくすると

x	12	24	120	1200
y	1	0.5	0.1	0.01

y は0に近づきますが、0にはなりません ○　これが「軸に近づくが触れない」という形です。

なぜ2本に分かれるのか

では y の値が決まらないからです。12を0で割ることはできません。

グラフは のところで途切れます。だから

• の部分（第1象限）
• の部分（第3象限）

の2本になります。

【検算】 なら 。 ○　負どうしでも積は正なので、第3象限に現れます。

a が負のときは第2象限と第4象限になります。積が負になるからです。

2つの対称性

原点について対称

がグラフ上にあれば、 もあります。

符号を両方変えても積は変わらないからです。

直線 について対称

があれば もあります。x と y を入れかえても積は同じだからです。

【検算】表を見ると、 と 、 と 、 と がすべてペアで現れています ○

長方形の面積が一定

グラフ上の点から両方の軸に垂線を下ろすと、長方形ができます。

たてが y、よこが x なので、面積は

点をどこに取っても、面積は12です。

【検算】 なら 、 なら 、 なら ○

これが「比例定数 a」の意味

比例定数は長方形の面積として見ることができます。

比例との違い

	比例	反比例
式
一定なもの	商	積
グラフ	直線（1本）	曲線（2本）
原点	通る	通らない

【検算】比例 では のとき 。原点を通ります ○　反比例は が定義できないので通りません ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. グラフをかく練習が中心になるから

表を作って点を打ち、なめらかに結ぶ——作業として完結します。

ところがなぜその形になるのかは、 という見方をしないと出てきません。式を変形する一手が、授業では省かれやすいのです。

2. 「0で割れない」ことの重みが伝わりにくいから

が使えない——これはグラフが2本に分かれる直接の原因です。

ところが「0で割ってはいけない」は計算のルールとして教わります。グラフの形と結びつける場面が作られにくいのです。

3. 「限りなく近づく」という考え方が先の内容だから

軸に近づくが触れない——これは極限の考え方です。数IIIで正式に学びます。

中学1年では言葉で説明するしかないため、表で値を追いかけて実感するのがいちばん確実です。

【検算】3つの方法

1. すべての点で積を計算する

最も確実です。全部同じ数になります。

【検算】 ○

2. 対称な点もグラフ上にあるか

符号を反転、x と y を入れかえ——どちらも上にあるはずです。

【検算】、、 すべて ○

3. x を0に近づけて値を追う

【検算】 で 。いくらでも大きくなる ○

よくあるミス

ミス1：グラフを軸につけてかく

触れません。近づくだけです。

ミス2：2本を1本につなげてかく

で途切れます。

ミス3：原点を通ると思う

通りません（比例と混同）。

ミス4：負の範囲をかき忘れる

第3象限（a が正のとき）にもあります。

ミス5：比例定数を「傾き」と思う

反比例には傾きがありません。積の値です。

ミス6：a が負のときの象限を間違える

第2・第4象限になります。

練習問題

1. で のときの y を求めなさい。
2. それぞれの を計算しなさい。
3. グラフがx軸に触れない理由を答えなさい。
4. のときの y を求め、どの象限にあるか答えなさい。
5. と対称な点を2つ答えなさい。
6. から両軸に垂線を下ろしてできる長方形の面積を求めなさい。
7. 比例と反比例で「一定なもの」の違いを答えなさい。

解答

1. 12、6、4、3、2、1
2. すべて12
3. y が0だと積が0になり、12にならないから
4. 。第3象限
5. と
6. 12
7. 比例は商、反比例は積が一定

まとめ

• 反比例は（積が一定）
• 軸に触れないのは積が0になってしまうから
• 2本に分かれるのは が使えないから
• 原点対称かつ について対称
• 長方形の面積はいつも a
• 検算は積を計算／対称な点／0に近づける

反比例のグラフは、「積が一定」という1つの条件から形が決まっています。式を見て形が想像できるようになると、グラフは覚えるものではなく導けるものになります。この双曲線は、高校の二次曲線や分数関数でまた出会います。