反復試行の確率の公式の作り方｜数A確率

反復試行の確率 は、3つの部品を組み立てただけです。丸暗記する必要はありません。

組み立て方さえ分かれば、公式を忘れてもその場で作れます。逆に、組み立て方を知らないと「 を掛けるのか掛けないのか」で必ず迷います。

結論：3ステップで作る

1. 1つの起こり方の確率を出す　→　
2. その起こり方が何通りあるか数える　→　
3. 全部足す（どれも同じ確率なので、かけ算1回で済む）

この順に作るのが正しい手順です。公式から入ると意味が見えません。

やってみる：さいころを5回投げて1がちょうど2回

1が出る確率は 、出ない確率は 。

ステップ1：1つの起こり方の確率

たとえば1回目と2回目に1が出て、3〜5回目は出ないという起こり方。毎回の結果は互いに影響しないので、かけ算できます。

順番が変わっても値は同じです。たとえば2回目と5回目に出る場合も

かける順番が変わるだけだからです。ここが公式が成り立つ土台です。

ステップ2：何通りあるか

5回のうちどの2回で1が出るかを選びます。

ステップ3：足す

10通りすべてが なので、足すのはかけ算1回で済みます。

約0.161です。

【検算】確率を使わず、場合の数の比で計算し直します。

• 全部の出方： 通り
• 1がちょうど2回：どの2回かが 通り、残り3回は1以外で 通り

一致 ○　まったく別の道筋で同じ答えになりました。

なぜ「足す」が「かける」で済むのか

本来は10通りの確率を全部足す作業です。

全部が同じ値だから、かけ算にまとめられる。もし起こり方ごとに確率が違えば、この省略はできません。

同じ値になる理由

どの起こり方でも1が出る回が 回、出ない回が 回で変わりません。

つまりかける数の中身が同じで、順番だけが違う。かけ算は順番を変えても結果が同じなので、確率も同じになります。

使える条件：毎回同じで、影響し合わない

この公式が使えるのは次の2つがそろうときだけです。

• 毎回、同じ確率で起こる
• 前の結果が次に影響しない（独立）

使えない例

赤玉3個、白玉2個の袋から、戻さずに2個取り出す。

1個目を取ると袋の中身が変わるので、2個目の確率が変わります。反復試行の公式は使えません。

戻すなら毎回同じ条件なので使えます。「もとに戻す」「戻さない」は必ず確認してください。

順番が指定されているときは掛けない

問題	式	値
ちょうど2回出る
1回目と2回目に出る

「どの回か」が決まっていれば、数える必要がないので は掛けません。

【検算】後者を10倍すると前者になります。

一致 ○

全部足すと1になる

1が出る回数は0回から5回までのどれか。全部足せば1のはずです。

回数	0	1	2	3	4	5
	1	5	10	10	5	1
分子	3125	3125	1250	250	25	1

分母はすべて7776。分子の合計は

合計 ○　これは最も強力な検算です。

「少なくとも」は余事象で

さいころを5回投げて、1が少なくとも1回出る確率。

「少なくとも1回」の反対は「1回も出ない」。こちらは なので簡単です。

約0.598です。

【検算】 を全部足しても同じはずです。

一致 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 3つの部品がそれぞれ別の項目で習ったものだから

は場合の数、 は独立試行の乗法定理、それらを足す部分は和の法則——3つの異なる項目の合成です。

公式としては1行ですが、由来をたどると3か所に分かれている。この統合を丁寧に行うには時間がかかるため、完成形の提示から入りやすい構成になっています。

2. 「独立」という前提の確認が、演習に埋もれやすいから

教科書の例題はほとんどが独立な設定（さいころ・コイン・玉を戻す）です。

そのため前提が満たされていることを毎回確かめる習慣がつきにくく、戻さない設定で誤って公式を使うことが起こります。前提が崩れる例は別の項目（条件付き確率など）で扱われるため、対比しにくい構成です。

3. 中学の確率とは考え方の向きが逆だから

中2の確率は「同様に確からしい場合を数えて比を取る」——数え上げが主役でした。

ところが反復試行は「確率どうしをかけ算する」。数えるのは組合せの部分だけです。この向きの変化が明示されないと、どちらで解くべきか毎回迷います。

どちらでも解けるのが実際のところで、それが最良の検算になります。

【検算】3つの方法

1. 場合の数の比で計算し直す

【検算】、公式でも同じ ○

2. 全部の場合を足して1になるか

から まで足すと必ず1です。1つでも計算を間違えていれば合いません。

【検算】 ○

3. 0以上1以下か

確率は必ず 。範囲外なら計算ミスです。

【検算】 ○、 ○

よくあるミス

ミス1： を掛け忘れる

1つの起こり方の確率で止まっています。「どの回に起こるか」の通り数を掛けます。

ミス2：順番が指定されているのに掛けてしまう

「1回目と2回目に」なら掛けません。問題文の指定を確認します。

ミス3：指数を逆にする

の指数は 、 の指数は 。合計が になるか確かめます。

ミス4：戻さない試行に使う

毎回同じ確率でないと使えません。

ミス5： を間違える

さいころで1が出ない確率は です。 の反対を落ち着いて計算します。

ミス6：「少なくとも」を直接足そうとして計算量が爆発する

余事象を使うと1回の計算で済みます。

練習問題

さいころを5回投げるとき、次の確率を求めなさい（4〜6はコインを5回投げる）。

1. 1の目がちょうど2回出る確率。
2. 1の目が1回も出ない確率。
3. 1の目が少なくとも1回出る確率。
4. 表がちょうど3回出る確率。
5. 表が3回以上出る確率。
6. 1回目から3回目まで表、4・5回目が裏になる確率。
7. さいころで1回目と2回目だけ1の目が出る確率。

解答

1. （約0.161）
2. （約0.402）
3. （約0.598）。検算： ○
5. 。検算：表と裏は対称なので は妥当 ○
6. 順番が決まっているので掛けない。
7. 。検算： 倍すると1の答えと一致 ○

まとめ

• ①1つの起こり方の確率 ②その通り数 ③かける——この順で作る
• 足し算がかけ算になるのはどの起こり方も確率が同じだから
• 使える条件は毎回同じ確率かつ互いに影響しない
• 順番が指定されていれば は掛けない
• 「少なくとも」は余事象
• 検算は場合の数の比／全部足して1／0以上1以下

この形は数Bの二項分布にそのまま引き継がれます。 を の関数として並べたものが二項分布で、平均が になる——という話につながっていく。いま作り方を手で組み立てておけば、そこで新しく覚えることはほとんどありません。