はさみうちの原理の使いどころ｜数III極限

はさみうちの原理は「いつ使うか」が分かれば怖くありません。判断基準は2つだけです。

1. 直接計算できない（ やガウス記号が入っている）
2. 上下から評価できる（値の範囲が分かる）

この2つがそろったら、はさみうち。それ以外の場面では使いません。

結論：原理そのもの

で ならば

両端が同じ値に行くことが絶対条件です。違う値なら何も言えません。

直感

2枚の板の間にはさまれたものは、板が閉じれば同じ場所に来るしかない。それだけです。

やってみる1：三角関数がある場合

を求めよ。

は計算できません（ は整数なので特別な角にならない）。しかし範囲は分かります。

各辺を で割ると

両端はどちらも0に行くので

【検算1】両端の極限を確かめます。

一致 ○　これを確認しないと使えません。

【検算2】数値で確かめます。 なので

なら絶対値は0.001以下。確かに0に近い ○

不等式を作らないとどうなるか

もし のまま使うと、両端は と 。一致しないので何も言えません。

で割るという一手があって初めて、両端が0にそろいます。

やってみる2：分母の次数を上げても同じ

両端とも0なので

【検算】 で 。より速く0に近づく ○

やってみる3：ガウス記号

を定数として を求めよ（ はガウス記号）。

ガウス記号は直接計算できません。しかし定義から

各辺を で割ると

両端はどちらも に行くので

【検算1】、 で確かめます。

に近い ○

【検算2】 なら で 。さらに近い ○

【検算3】不等式が成り立つか。 ○

やってみる4：二項定理で評価する

を求めよ。

が よりずっと速く大きくなることを示したい。二項定理を使います。

のとき

したがって

両端とも0に行くので

【検算1】 で確かめます。

　はさまれています ○

【検算2】不等式そのものを確かめます。 で

○

【検算3】 でも。、。 ○

不等式を作る道具

登場するもの	使う評価
ガウス記号
（）	二項定理で下から評価
絶対値	かつ なら

使う道具は限られています。問題を見て「何が計算できないか」を特定すれば、対応する評価が決まります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「いつ使うか」の判断が示されにくいから

はさみうちは原理としては単純です。だから定理の説明はすぐ終わる。

ところが使う場面を見抜くほうが難しい。「直接計算できない」かつ「範囲が分かる」——この2条件は解法の知識であって定理の内容ではないため、明示的な項目になりにくいのです。

2. 不等式の作り方が問題ごとになるから

なら 、ガウス記号なら定義から、 なら二項定理。道具が問題によって違います。

この対応は例題を通して身につけるもので、一覧として整理される場面が少ない。表にしてしまえば4つ程度なのですが、そこまで至らないまま終わりがちです。

3. 「両端が一致するか」の確認が省かれやすいから

答案では両端の極限を計算して一致を示す必要があります。

ところが例題では明らかに両方0であることが多く、確認が形式的に見える。すると両端が違う値になる不等式を作ってしまったときに、誤りに気づけません。

【検算】3つの方法

1. 大きい で数値計算する

実際に近づいているかを見ます。

【検算】。ほぼ0 ○

2. 不等式を小さい で確かめる

作った不等式が本当に成り立つかを数値で確認します。

【検算】： ○

3. 両端の極限が一致しているか

これを忘れると使えません。

【検算】、。一致 ○

よくあるミス

ミス1：両端が違う値なのに結論する

一致が条件です。 と では言えません。

ミス2：不等号の向きを間違える

負の数で割ると反転します。 を確認してから割ります。

ミス3：直接計算できる問題で使う

不要です。普通に極限を求めます。

ミス4：ガウス記号の不等号を等号つきにする

。左は等号なしです。

ミス5：二項定理の評価で項を取りすぎる

1つの項だけ残せば十分です。 を使います。

ミス6： などの条件を書かない

評価が成り立つ範囲を明記します。

練習問題

1. を求めなさい。
2. 1で使う不等式を書きなさい。
3. を求めなさい。
4. を求め、 で確かめなさい。
5. を求めなさい。
6. 5で使う二項定理の評価を で確かめなさい。
7. はさみうちを使う判断基準を2つ挙げなさい。

解答

1. 0（両端 がともに0へ）
2. の各辺を で割って
3. 0。検算： で ○
4. 。 で ○
5. 0（）
6. 、。 ○
7. ①直接計算できない ②上下から評価できる

まとめ

• 使うのは①直接計算できない ②範囲が分かるとき
• 両端が同じ値に行くことが絶対条件
• は で挟む
• ガウス記号は
• は二項定理で下から評価
• で割ることで両端を0にそろえる
• 検算は数値計算／不等式の確認／両端の一致

はさみうちは「分からないものを、分かるもので囲む」という考え方です。正確な値が計算できなくても、上と下から追い詰めれば場所は特定できる。この発想は、数値計算でも、証明でも、繰り返し現れます。計算できないことは、諦める理由になりません。