平方完成が何をしているのかわからない｜数I二次関数

を に直す——高1で最初につまずくのが、この平方完成です。

手順は「 の係数の半分を2乗して足して引く」と教わります。ところが何のためにその作業をしているのかが分からないまま覚えるので、少し形が変わると手が止まります。

平方完成の目的はひとつです。グラフの頂点を式から直接読み取れるようにすること。それだけです。

結論：平方完成は「頂点を見えるようにする」作業

二次関数には2つの書き方があります。

形	式	すぐ分かること
一般形		切片（ を入れて ）
標準形（平方完成後）		頂点 、軸

同じ関数でも、標準形にすると頂点の座標がそのまま数字として現れます。最大最小、グラフの平行移動、解の配置——高校数学で二次関数を扱う場面のほとんどが頂点の情報を必要とするので、平方完成が最初の一手になるのです。

なぜ「半分を2乗して足して引く」のか

やっていることは乗法公式の逆向きの利用です。使うのはこの公式だけです。

右辺を見てください。 の係数は です。つまり の係数が分かれば は「その半分」と決まります。そして にするには が必要です。

ところが元の式に はありません。だから足して、同じだけ引く。足して引けば式の値は変わらないので、勝手に形だけを変えられます。

で追ってみます。

1. の係数は 。その半分は 。よって
2. にするには が必要
3. そこで を足して、同じ を引く

【検算】展開して戻します。。もとの式と一致しました。

この式から頂点は 、軸は だと即座に読めます。

の係数が1でないとき

ここで多くの人が崩れます。先に の係数でくくるのが鉄則です。

を平方完成します。

手順1： を含む項だけを でくくる（定数項の は外に置いたまま）

手順2：かっこの中だけで平方完成する。 の係数 の半分は 、その2乗は 。

手順3：かっこを外す。このとき にも がかかる——ここが最大のミスどころです。

頂点は 。

【検算】展開すると 。一致しました。
さらに を元の式に代入すると 。確かに頂点の 座標と合っています。

係数が負のときも同じ

を平方完成します。 でくくります。

かっこの中を平方完成（ の半分は 、2乗して ）。

頂点は 。上に凸のグラフなので、この頂点が最大値になります。

【検算】 を元の式へ：。一致します。また では元の式が 、平方完成後も 。2点で一致しました。

【検算】平方完成の前後で関数が変わっていないことの確認

平方完成は「足して引く」だけなので、すべての で値が一致するはずです。 と で確かめます。

すべての行で一致しています。形が変わっただけで、関数そのものは同じだと確認できました。

一般形から頂点を出す公式との関係

を文字のまま平方完成すると、頂点の公式が出てきます。

の半分は 、2乗して 。

つまり頂点は 。

ここで が現れることに注目してください。判別式と同じ式です。頂点の 座標の符号が、グラフと 軸の交点の有無を決めている——平方完成をすると、この2つがつながって見えます。

【検算】 に当てはめます。。
軸：。
頂点の ：。
先ほど手計算で出した と一致しました。

よくあるミス

ミス1：くくった数を戻し忘れる

いちばん多いミスです。 を としてしまう。かっこの中の にも がかかります。

誤：　／　正：

誤答に を入れると になりますが、元の式は 。頂点で代入して確かめれば必ず気づけます。

ミス2：定数項まで一緒にくくってしまう

を としてしまう間違いです。 は で割り切れないので、くくるのは を含む項だけです。

ミス3：頂点の符号を読み違える

の頂点は です。 ではありません。 の が頂点の 座標なので、かっこの中の符号を反転させて読みます。

不安なときは「かっこの中が0になる はいくつか」と考えてください。 すなわち です。

練習問題

1. を平方完成し、頂点を求めなさい。
2. を平方完成し、頂点を求めなさい。
3. を平方完成し、頂点を求めなさい。
4. を平方完成し、頂点と最大値を求めなさい。

解答

1. 、頂点 。検算： で元の式は
2. 、頂点 。検算： で
3. 、頂点 。検算： で
4. 、頂点 。上に凸なので最大値 7。検算： で

まとめ

• 平方完成の目的は頂点の座標を式から直接読めるようにすること
• 「半分を2乗して足して引く」のは、 の を作るため
• の係数が1でないときは、 を含む項だけを先にくくる。定数項は外に置く
• かっこを外すとき、中の定数にも係数がかかる（最大のミスどころ）
• できたら頂点の を元の式に代入して、 座標が合うか必ず確かめる

平方完成は「二次関数の単元の技術」ではありません。最大最小、解の配置、軌跡、数IIの円の方程式、数IIIの積分計算まで、二次式が出るたびに使い続けます。ここで手順と理由の両方を押さえておくと、後の単元で「とりあえず平方完成してみる」という有効な一手が使えるようになります。