近似値と平方根の大小比較が苦手｜中3平方根

と はどちらが大きいか。 と は。√がつくと大小が分からなくなる——中3の平方根で頻出のつまずきです。

方法は1つに決まっています。すべて√の形にそろえて、中身を比べる。近似値を思い出す必要はありません。

結論：√の中身が大きいほうが大きい

、 のとき

ならば

これは√が単調に増える操作だからです。中身が大きくなれば、√も大きくなる。

だから比較の手順は

1. すべてを の形にそろえる（整数も係数も中に入れる）
2. 中身の数を比べる

これだけです。近似値も電卓も不要です。

整数と√を比べる

と はどちらが大きいか。

整数3を√の形にします。2乗して中に入れます。

あとは中身を比べるだけ。 なので 。

【検算】。確かに3より小さい ○

別の確かめ方：両方を2乗します。、。9のほうが大きいので3のほうが大きい。

どちらも正の数なら、2乗して比べても大小は変わりません。これが根拠です。

係数つきの√どうしを比べる

と はどちらが大きいか。

係数を√の中に入れます。入れるときは2乗するのを忘れずに。

なので 。

【検算】、。確かに後者が大きい ○

係数を見ただけでは判断できません。 と を比べても、中身が違うので意味がない。必ず中に入れてから比べます。

3つ以上を並べる

、、、 を小さい順に並べなさい。

すべて√の形にそろえます。

もとの形	√の形	中身
		20
		18
		21
		16

中身の小さい順に なので

【検算】概算します。、、、。順序が一致しました ○

中身にそろえれば、いくつあっても一度に並べられます。これが近似値より優れている点です。

負の数が入るとき

マイナスがつくと大小が逆転します。

と はどちらが大きいか。

まず絶対値で比べます。。

マイナスをつけると大小が逆になるので

【検算】、。数直線で のほうが右にあるので大きい ○

負の数の大小は絶対値が大きいほど小さい——中1で学んだ内容がそのまま効きます。

√の値の範囲を求める

はどの整数とどの整数の間にあるか。

30をはさむ平方数を探します。

それぞれの√をとると

【検算】。確かに5と6の間 ○

平方数を覚えておくと速いです。。

整数部分を求める応用

の整数部分を求めなさい。

より 。整数部分は7です。

【検算】 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 近似値を覚える方法と混ざるから

（ひとよひとよにひとみごろ）のような語呂合わせは有名です。覚えていると便利ですが、覚えていない値では使えません。

や の近似値を覚えている人はまずいません。覚える方法と、いつでも使える方法は別です。

中身にそろえる方法なら、どんな数でも使えます。この使い分けが明示されないと、近似値に頼って行き詰まります。

2. 「2乗して比べてよい」の条件が見落とされやすいから

「2乗して比べる」が使えるのはどちらも0以上のときだけです。

負の数が入ると成り立ちません。 ですが、2乗すると で逆転します。

√の単元では正の数しか出てこないため、条件を意識する必要が構造上生じません。ところが高校の不等式では、この条件が決定的になります。

3. 「係数を中に入れる」操作の練習が少ないから

√を簡単にする方向（中から外へ）は繰り返し練習します。ところが大小比較では外から中へという逆向きの操作が必要です。

逆向きの操作は練習量が少なく、しかも2乗するのを忘れやすい。 を としてしまうミスは、この非対称性から生まれます。

「外に出すときは√が取れる、中に入れるときは2乗する」——対にして覚えてください。

【検算】3つの方法

1. 2乗して比べる

どちらも0以上なら、2乗しても大小は変わりません。

比べるもの	2乗すると	結論
と	9 と 8
と	12 と 18
と	20 と 21

2. 概算で確かめる

、、 の3つを覚えておけば、多くの場面で概算できます。

結論と概算が食い違ったら、どちらかが間違いです。

3. はさむ整数を確認する

なら で 。おおよその位置が分かるので、大きく外れた結論を防げます。

よくあるミス

ミス1：係数だけで判断する

と を「3のほうが大きいから」と判断するミス。中身が違うので比べられません。

ミス2：中に入れるとき2乗を忘れる

です。 ではありません。

【検算】、。まったく違う ○

ミス3：負の数で大小を逆にしない

です。絶対値が大きいほど小さくなります。

ミス4：負の数でも2乗して比べる

2乗して比べてよいのは、どちらも0以上のときだけです。

ミス5：整数部分を四捨五入で求める

の整数部分は7です。四捨五入の7とたまたま同じですが、 の整数部分は7で、四捨五入の8ではありません。

整数部分は「切り捨て」です。

練習問題

1. と はどちらが大きいか。
2. と はどちらが大きいか。
3. と はどちらが大きいか。
4. はどの連続する2つの整数の間にあるか。
5. 、、、 を小さい順に並べなさい。
6. と はどちらが大きいか。

解答

1. 。 なので のほうが大きい。検算： ○
2. 、。 なので のほうが大きい。検算： ○
3. 、。 なので5のほうが大きい。検算： ○
4. より6と7の間。検算： ○
5. すべて2乗すると 。小さい順に なので。検算： ○
6. なので、マイナスをつけると逆転して のほうが大きい。検算： ○

まとめ

• 比較の手順は①√の形にそろえる ②中身を比べる
• 整数は2乗して中に入れる（）
• 係数も2乗して中に入れる（）
• 係数だけで判断しない。中身が違えば比べられない
• 負の数は大小が逆転する。絶対値が大きいほど小さい
• 2乗して比べてよいのはどちらも0以上のときだけ
• 範囲ははさむ平方数で求める。整数部分は切り捨て

「形をそろえてから比べる」という手順は、分数の通分、単位の統一、指数の底そろえ——数学のあらゆる比較で使う基本です。とくに高校では、対数の大小比較（底をそろえる）、三角比の大小（単位円で見る）といった形で繰り返し現れます。近似値に頼らず、そろえて比べる——中3のここで身につけておくべき姿勢です。