平行線と線分の比で対応がわからなくなる｜中3相似

平行線と線分の比の問題で、どことどこが対応するのか分からなくなる。式を立てても比の順番が合わず、答えが合わない——中3の相似で頻出のつまずきです。

原因は図の中に似た長さが多すぎること。対策は決まっています。三角形を2つ取り出して、対応を目で見る。

結論：相似な三角形を切り出して並べる

平行線があると、必ず相似な三角形ができます。

△ABCで、辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DE BC。

このとき△ADEと△ABCは相似です。理由は角。

• は共通
• （平行線の同位角）

2組の角が等しいので相似です。したがって

ここが最重要です。比を取るのは「小さい三角形の辺」と「大きい三角形の対応する辺」。

最大の落とし穴：AD:DB か AD:AB か

この2つを混同するのが、最も多いミスです。

比	意味	使える式
	部分：全体	と等しい
	部分：残り	と等しい

DE と BC を比べるときは、必ず「全体」との比を使います。

【検算】具体的な数で確かめます。、、 とします。

• したがって 、つまり

を使って とするのは誤りです。

座標で確かめます。、、 とすると 。

ABを に内分する点Dは 、ACを同じ比で内分するEは 。

○。計算と一致しました。

対応を見失わない書き方

比の式を書くとき、左辺と右辺で同じ順序にそろえます。

（小さい三角形の辺）：（大きい三角形の辺）

は、両辺とも「小：大」。

これを と書くと順序が逆になり、答えが合いません。

迷ったら「小さいほうを先」と決めておく——これで統一できます。

三角形の外に点がある場合

DEがBCの延長側にある場合も、同じ相似が使えます。

2直線が点Pで交わり、PA上に点B、PC上に点DがあってAC BD。

△PABと△PCD……ではなく、△PBDと△PACが相似です（Pが共通の頂点）。

頂点Pから測った長さで比を取る——これが共通のルールです。

【検算】座標で確認します。、、 とします。 の長さは 。

、 とすると 、 ○

。 ○

3つの比がすべて 。BDとACも平行です（傾きがどちらも ）。

平行線が3本以上ある場合

3本の平行線が2直線を切るとき、切り取られる線分の比は等しくなります。

これも相似から出ます。ただし対応を間違えやすいので、必ず同じ直線上の線分どうしで比を作ってください。

【検算】座標で確かめます。 軸に平行な3直線 が、2本の直線を切るとします。

直線1を （ 軸）、直線2を とします。

• 直線1との交点 … 。切り取られる長さは と
• 直線2との交点 … 。長さは と

比は と 。一致しました ○

中点連結定理はその特別な場合

（Dが中点）のとき、Eも中点になり

つまり、そしてDE BC。これが中点連結定理です。

覚える定理ではなく、相似の特別な場合だと理解してください。

【検算】、、 で確かめます。中点は 、。

、。 ○。どちらも 軸に平行なので平行 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 図が複雑で、対応を確認する手順が示されにくいから

平行線と線分の比の図には、線分が5本以上登場します。どれとどれが対応するかは図を見て判断することになります。

ところが解答例には完成した比の式だけが書かれ、対応をどう確認したかは書かれません。

対策は相似な三角形を2つ、図の外に描き出すことです。手間はかかりますが、対応を間違えなくなります。

2. と の使い分けが問題ごとに変わるから

問題文が と与えてくることが多い一方、DEとBCの比を出すには が必要です。

与えられる形と、使う形が違う——この変換（ から へ）が1ステップ入ることを意識しておく必要があります。

3. 中点連結定理が独立した定理として教えられるから

中点連結定理は名前のついた定理として登場します。すると独立した知識として覚えることになりやすい。

実際には相似比 の場合にすぎません。相似から毎回導けると理解しておけば、覚える必要すらありません。

【検算】3つの方法

1. 座標で確かめる

最も確実です。図形の問題を数値に落とせば、対応の間違いが必ず見つかります。

状況	相似比	確認
		なら ○
中点（）		なら ○
		なら ○

2. 大小関係を確認する

DEは必ずBCより短い（Dが辺AB上にあるかぎり）。DEのほうが長くなったら間違いです。

3. 3つの比がすべて等しいか

、、 の3つが同じ値になるはずです。1つでも違えば、どこかで対応を間違えています。

よくあるミス

ミス1： をそのまま に使う

全体との比に直します。 なら 。

ミス2：比の順序を逆にする

両辺とも「小：大」にそろえます。片方だけ逆にすると答えが逆数になります。

ミス3：対応する辺を取り違える

△ADE △ABCならADとAB、AEとAC、DEとBCが対応します。

ミス4：平行でないのに使う

平行が前提です。平行でなければ相似になりません。問題文で平行の条件を確認してください。

ミス5：中点連結定理を だと思う

倍です。相似比が だからです。

練習問題

1. △ABCでDE BC、、 のとき、DEの長さを求めなさい。
2. 1で を求めなさい。
3. △ABCでDE BC、、、 のとき、BCの長さを求めなさい。
4. 3で の長さを求めなさい。
5. DとEがそれぞれAB、ACの中点で のとき、DEの長さを求めなさい。
6. △ABCでDE BC、 のとき、△ADEと△ABCの面積比を求めなさい。

解答

1. なので 。3。検算：DEはBCより短い ○
2. 。残りどうしの比は等しい
3. なので 。 より 15。検算： ○
4. 6
5. 中点連結定理より 7
6. なので相似比 。面積比は2乗で

まとめ

• 平行線があれば必ず相似な三角形ができる（共通角＋同位角）
• 比を取るのは「小さい三角形の辺：大きい三角形の対応する辺」
• に使うのは （全体との比）
• が使えるのは との比較
• 比の式は両辺とも「小：大」にそろえる
• 中点連結定理は相似比 の特別な場合
• 検算は座標で確かめる／DEがBCより短いか／3つの比が一致するか

平行線から相似を作るという発想は、中3の相似の応用問題のほぼすべてで使われます。さらに高校では、ベクトルの内分点、座標平面上の分点公式として同じ構造が現れます。「平行線を見たら相似な三角形を切り出す」——この反射ができれば、この分野の問題は手順の問題になります。