平行線と角で補助線を引く場所｜中2平行と合同

平行線の角度問題で「補助線がひらめかない」——そう感じている人へ。

補助線を引く場所は決まっています

折れ曲がっている点を通り、平行線に平行な線を引く。それだけです。ひらめきは要りません。

なぜそこに引くのか

錯角・同位角が使えるのは平行線があるときだけです。

折れ点を通る平行線を1本足すと、平行線が3本になります。すると折れ点の角が上下2つに分かれ、それぞれが錯角として使えるようになります。

平行線を増やして、錯角を使える形にする

やってみる1：折れ角を求める

2直線 と は平行です。その間の点Pで折れ曲がっています。 側の角が40度、 側の角が30度のとき、折れ角（∠APB）は何度ですか。

補助線を引く

Pを通り、（と ）に平行な直線を引きます。

折れ角は上下2つの角に分かれます。

• 下側の角は、 側の40度と錯角——だから40度
• 上側の角は、 側の30度と錯角——だから30度

70度です。

【検算1】補助線なしでも確かめられます。APを延長して と交わらせると三角形ができ、外角は内対角の和。

同じ答え ○　まったく別の道具で一致しました。

【検算2】角度の大小を見ます。折れ角70度は、40度より大きく、 を超えません ○

やってみる2：逆に片方を求める

同じ図で、折れ角が110度、 側の角が40度のとき、 側の角は何度ですか。

折れ角＝2つの角の和なので

70度です。

【検算】 ○　足して戻ることを必ず確認します。

やってみる3：ジグザグが2か所のとき

と が平行で、間で2回折れ曲がっています。角は順に25度・60度・80度・45度でした。この4つにはどんな関係がありますか。

折れ点それぞれに平行な補助線を引きます。すると

左に開いた角の和 ＝ 右に開いた角の和

一致します。折れ点が何個あっても同じです。

【検算1】補助線を引くと、25度と60度の一部、60度の残りと80度……というようにすべての角が錯角のペアになります。ペアを作れば必ず両側が等しくなります ○

【検算2】1か所しか折れないときは 。これも「左の和＝右の和」の形です（左が40と30、右が70）○

補助線の引き方チェックリスト

状況	引く補助線
平行線の間に折れ点がある	折れ点を通る平行線
折れ点が2つ以上	それぞれに平行線
三角形が作れそう	辺を延長して外角を使う

迷ったら平行線。それでだめなら延長して三角形を作る——この2択です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 補助線が「センス」の問題に見えるから

解説を見るとすでに補助線が引かれています。なぜそこなのかは書かれていないことが多い。

すると思いつくかどうかの勝負に見えてしまいます。実際は折れ点を通る平行線という決まった手があるだけです。

2. 「平行線がないと錯角は使えない」が意識されにくいから

錯角・同位角は平行線とセットの道具です。この前提が意識されていないと、平行線を作るという発想が出てきません。

用語（同位角・錯角・対頂角）を覚えることが中心になると、使う条件のほうが後回しになりがちです。

3. 外角の定理との使い分けが示されにくいから

同じ問題が平行線の錯角でも三角形の外角でも解けます。

ところが2つは別の項目として並びます。同じ問題を2通りで解く場面が作られにくいため、片方しか使えない状態になりやすいのです。

【検算】3つの方法

1. 別の解き方で解き直す

最も強い検算です。平行線で解いたら、外角の定理でも確かめます。

【検算】どちらでも ○

2. 足して戻るか確認する

【検算】 ○

3. 角の大きさが妥当か

鋭角・鈍角の見た目と合っているかを見ます。

【検算】70度は直角より小さい。図でも鋭角に見える ○

よくあるミス

ミス1：補助線を斜めに引く

平行に引きます。傾けたら錯角が使えません。

ミス2：同位角と錯角を取り違える

位置を図で確認します。

ミス3：平行でないのに錯角を使う

平行の条件を確かめます。

ミス4：折れ角を分けずに考える

補助線で2つに分けるのが要点です。

ミス5：ジグザグで足す向きを間違える

左の和と右の和で整理します。

ミス6：検算せずに終える

足して戻すだけでも防げます。

練習問題

1. 平行線の間の折れ点で、両側の角が40度・30度のときの折れ角を求めなさい。
2. 1を三角形の外角の定理で解き直しなさい。
3. 折れ角110度・片側40度のとき、もう一方の角を求めなさい。
4. 3の答えを足して確かめなさい。
5. ジグザグ2か所で25度・60度・80度・45度のとき、左右の和を求めなさい。
6. 5で2つの和が等しいことを確かめなさい。
7. 補助線をどこに引くか、一言で答えなさい。

解答

1. 70度
2. 延長して三角形を作ると外角は内対角の和で70度
3. 70度
4. ○
5. 、
6. どちらも105度で等しい ○
7. 折れ点を通り、平行線に平行な線

まとめ

• 補助線は折れ点を通る平行線
• 理由は錯角を使える形にするため
• 折れ角＝両側の角の和
• ジグザグでは左の和＝右の和
• 別解として三角形の外角の定理が使える
• 検算は別解／足して戻す／角の大きさの見当

補助線はひらめきではなく手順です。「折れているところを見つけたら、そこに平行線」——この1文を覚えておけば、平行線の角度問題で手が止まることはなくなります。解けない問題ほど、まず線を1本足してみてください。