比例と反比例の見分けがつかない｜中1比例と反比例

「 は に比例する」「反比例する」——言葉は覚えたのに、表を見せられると、どちらか判断できない。中1の関数の入り口でとても多いつまずきです。

実は判定方法は決まっています。2つの数を計算するだけで、確実に見分けられます。しかもそのどちらでもないという第3の答えがあることを知っておくのが決定的に重要です。

結論：一定になるのは「商」か「積」か

	式	一定になるもの	が2倍になると
比例		商	も2倍
反比例		積	は半分

判定は割ってみる、かけてみる——それだけです。

• がいつも同じ値 → 比例。その値が比例定数
• がいつも同じ値 → 反比例。その値が比例定数
• どちらも一定でない → 比例でも反比例でもない

3つ目を知らない人が非常に多い。世の中の関係の大半は、比例でも反比例でもありません。

実際に判定する

表1

	1	2	3	4
	3	6	9	12
	3	3	3	3
	3	12	27	48

商がすべて3で一定。積はバラバラ。よって比例で、式は です。

表2

	1	2	3	4
	12	6	4	3
	12	3
	12	12	12	12

積がすべて12で一定。よって反比例で、式は です。

表3

	1	2	3	4
	5	7	9	11
	5		3
	5	14	27	44

どちらも一定ではありません。これは比例でも反比例でもない——正しい答えは「どちらでもない」です。

（この表は 。中2で習う一次関数です。増え方は一定ですが、比例ではありません。）

なぜ商と積なのか

定義を式変形すれば、そのまま出てきます。

比例： の両辺を で割ると

商が定数 。これが「商が一定」の意味です。

反比例： の両辺に をかけると

積が定数 。

つまり比例と反比例は、比例定数の取り出し方が「割る」か「かける」かの違いだけです。判定法は暗記事項ではなく、定義そのものです。

「 が2倍なら も2倍」だけでは足りない

比例の説明としてよく使われる言い方ですが、これだけでは判定に使えません。表3を見てください。

で は 。2倍にはなっていないので、確かに比例ではないと分かります。

しかし「2倍になったか」を毎回確認するのは面倒で、しかも2倍の組がない表では使えません。 が 1, 3, 7, 8 のような表もあります。

商と積を計算する方法なら、どんな表でも必ず使えます。だからこちらを標準にしてください。

原点を通るかどうか

もう1つ、決定的な違いがあります。

• 比例 … のとき 。必ず原点を通る
• 反比例 … は考えられない（0で割ることになる）

表に の欄があって が0でないなら、比例ではありません。一瞬で判定できます。

グラフの形も、ここから決まります。

• 比例 … 原点を通る直線
• 反比例 … 原点を通らない曲線（双曲線。 軸にも 軸にも触れない）

反比例のグラフが軸に触れないのは、 も も0になれないからです。 で なら、どちらかが0になった瞬間に積は0になってしまいます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 比例が小学校の内容として既習扱いになるから

比例と反比例は小学校で導入されます。中1ではこれを、負の数まで広げた形で扱い直す構成です。

そのため「比例とは何か」という定義に立ち返る時間が確保されにくい。ところが「 が2倍なら も2倍」という小学校由来の言い方だけを持っていると、中1の表（負の数や分数が入る）で使えなくなります。

2. 「どちらでもない」を判定する練習が構成上少ないから

ここが最も大きい点だと考えています。

単元名が「比例と反比例」である以上、そこで出題される表や式は、比例か反比例のどちらかであることがほとんどです。二択なら、片方を消去すればもう片方が当たります。

「どちらでもない」という選択肢が実質的に存在しない環境で練習することになる——これは出題側の都合ではなく、単元区切りという構造から自然に生じることです。

結果として、中2で一次関数 が出てきたときに「これも比例では？」という混乱が起きます。対策は、自分で「どちらでもない表」を作ってみることです。 の表を書いて、商も積も一定でないことを確認する。1回で十分です。

3. 反比例が使われる場面が、後の学年に集中しているから

反比例の関係（）が実際に効いてくるのは、中3の相似や理科の圧力・てこ、高校の物理といった場面です。中1では表と式とグラフの読み書きが中心になります。

使う場面が後ろに寄っているため、「積が一定」という感覚が定着しにくいという順序になっています。

【検算】必ず全部の組で試す

判定するときは、1組だけで決めないこと。表のすべての組で計算します。

表	商	積	判定
表1	3, 3, 3, 3	3, 12, 27, 48	比例
表2	12, 3, ,	12, 12, 12, 12	反比例
表3	5, , 3,	5, 14, 27, 44	どちらでもない

式が求まったら、すべての組を代入して確かめます。表1で なら、 のとき 。表と一致。

1組でも合わなければ、その式は間違いです。

よくあるミス

ミス1：1組だけ見て決める

を見て「 だ」と決めてしまうミス。1組では何も決まりません。 でも でも成り立ちます。

最低でも2組、できれば全部で確認してください。

ミス2：減っていれば反比例だと思う

が減っていく表を見て、反射的に反比例とするミス。 も減りますが比例です（比例定数が負）。

増減ではなく、商か積かで判定します。

ミス3：比例定数を求める向きを間違える

• 比例 … （割る）
• 反比例 … （かける）

逆にすると別の値になります。迷ったら1組代入して確かめる。表2で とし、 を に入れると 。表と一致します。

ミス4：反比例で を考える

に は入れられません。0で割ることになるからです。

反比例では 。グラフが 軸に触れないのも同じ理由です。

練習問題

1. のとき 、 のとき 。比例か反比例か、式も答えなさい。
2. のとき 、 のとき 。比例か反比例か、式も答えなさい。
3. のとき 、 のとき 。比例か反比例か。
4. は に反比例し、 のとき である。 のときの を求めなさい。
5. は に比例し、 のとき である。式を求めなさい。
6. 面積が の長方形で、縦を cm、横を cmとする。 と の関係を式で表しなさい。

解答

1. 商は 、 で一定。比例で 。検算： ○
2. 積は 、 で一定。反比例で 。検算： ○
3. 商は と 、積は と 。どちらも一定でないので、どちらでもない（実は ）
4. 反比例なので積が一定。。よって で、 のとき。検算： ○
5. 比例なので商が一定。。よって。検算： ○
6. 縦×横＝面積なので 、つまり。積が一定なので反比例です

まとめ

• 商 が一定 → 比例（）
• 積 が一定 → 反比例（）
• どちらも一定でない → どちらでもない。この選択肢を必ず持っておく
• 判定はすべての組で。1組では何も決まらない
• 比例は必ず原点を通る直線。反比例は軸に触れない曲線（）
• 増減で判断しない。 は減るが比例

「何が一定になっているかを探す」という見方は、中2の一次関数（変化の割合が一定）、中3の （変化の割合が一定でない）へそのまま続きます。関数を式の形で覚えるのではなく、何が保存されているかで捉える——中1のここで身につけておくと、以降の関数の単元が一本の線でつながります。