方べきの定理の3パターンが区別できない｜数A図形の性質

方べきの定理は3パターンで教わります。交点が円の内側、外側、接線のとき。図が違うので、別々の定理に見える。

ところが中身は1つです。「1つの点Pから円まで測った2つの長さの積は、どの直線を引いても同じ値になる」。それだけです。

結論：積はいつも

円の中心をO、半径を 、点をPとすると、Pを通るどの直線でも

（2つの交点までの長さの積）

直線の向きによらず一定。これが方べきの定理の正体です。3パターンは、この1つの事実の見え方の違いにすぎません。

Pの位置	式	値
円の内部
円の外部
接線

接線は「2つの交点が重なった場合」です。だから 。別の定理ではありません。

やってみる：円の内部

半径5の円で、中心Oから3の距離にある点Pを考えます。

中心を通る直線を引く

Pを通り中心Oを通る直線は直径になります。Pから両端までは

それに垂直な直線を引く

Pを通り、いま引いた直径に垂直な弦を考えます。Pはこの弦の中点になり、その半分の長さは三平方の定理から

両側とも4なので

同じ16になりました。

【検算】公式でも確かめます。

一致 ○　どの向きに引いても16です。

やってみる：円の外部と接線

同じ半径5の円で、中心Oから13の距離にある点Pを考えます。

接線の長さ

接点をTとするとOT PT（接線は接点で半径と垂直）。三平方の定理から

中心を通る直線を引く

Pから円までの2つの距離は

と一致 ○

【検算】公式でも。

一致 ○　接線でも割線でも、値は同じ144です。

なぜ成り立つのか：相似で説明できる

3パターンとも相似な三角形から出ます。使う根拠だけが違います。

内部のとき

弦ABと弦CDが点Pで交わるとします。△PACと△PDBについて

• （対頂角）
• （同じ弧CBに対する円周角）

2組の角が等しいので相似。対応する辺の比から

外部のとき

同じく△PACと△PDBで

• は共通
• （円に内接する四角形の外角は、内対角に等しい）

やはり相似で、同じ式が出ます。

接線のとき

△PTAと△PBTで

• は共通
• （接弦定理）

3つとも「相似 → 比の等式 → たすきにかける」という同じ流れです。

逆も使える

積が等しければ、4点は同じ円周上にあります。

　⇒　A、B、C、Dは同一円周上

これは共円条件の示し方の1つです。相似から角の等しさが出て、円周角の定理の逆が使えるからです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 3つの図が別々に提示され、共通の意味がまとめられにくいから

教科書では内部・外部・接線を順に扱う構成になります。それぞれ図と証明がつくため、1つずつが独立した内容に見えます。

本当は「Pから円までの積は一定」という1つの事実ですが、この統一的な見方（）は発展的な内容として扱われることが多く、標準の流れでは前面に出にくい位置にあります。

2. 証明で使う根拠が3つとも違い、そのうち1つが別項目だから

内部は対頂角と円周角、外部は内接四角形の外角、接線は接弦定理。

特に接弦定理は方べきの定理とは別の項目として扱われます。順序や既習状況によっては接線のパターンだけ根拠が理解しきれないまま進むことが起こります。

3. 中3の円の性質から間があいているから

円周角の定理は中3、方べきの定理は数Aです。間に学年をまたぐ空白があります。

方べきの証明は円周角の定理を前提にしていますが、そこを復習する場面は数Aの構成には含まれにくい。円周角があいまいなまま入ると、証明が追えず3つの式を丸暗記することになります。

【検算】3つの方法

1. と一致するか

中心からの距離と半径が分かっていれば、これが最も速い検算です。

設定	計算	積
（内部）		16 ○
（外部）		144 ○

2. 中心を通る直線で確かめる

Pを通り中心Oを通る直線なら、2つの長さは と です。

【検算】外部： ○　内部： ○

これは という因数分解そのものです。

3. 接線の長さで確かめる

【検算】 ○

また接線の長さは、Pから円までの最短距離より長いはずです。最短は 、接線は12。 ○

よくあるミス

ミス1：外部で「近い方どうし」「遠い方どうし」をかける

1本の直線につき、近い交点と遠い交点をかけます。2本を混ぜません。

ミス2：接線のとき を1回しか使わない

です。2つの交点が重なっていると考えます。

ミス3：内部と外部で式が違うと思い込む

同じ式です。値が か かが変わるだけ。

ミス4：接線の長さを とする

三平方の定理で求めます。 であって ではありません。

ミス5：Pが円周上のときを忘れる

なら値は0。Pが交点の1つになるからです。

練習問題

半径5の円で、中心Oからの距離が13の点Pをとる（1〜3）。

1. Pから引いた接線の長さを求めなさい。
2. Pを通る直線が円と2点C、Dで交わり のとき、 を求めなさい。
3. Pを通り中心Oを通る直線での2つの長さを求め、積を確かめなさい。
4. 半径5の円の内部で、中心からの距離が3の点Pを通る弦について、 のとき を求めなさい。
5. 円の外部の点Pから引いた割線で 、 のとき、接線の長さを求めなさい。
6. 半径3の円で中心からの距離が5の点Pについて、方べきの値と接線の長さを求めなさい。
7. 円の内部の点Pで2本の弦が交わり 、、 のとき を求めなさい。

解答

1. 12
2. より 16。検算： ○
3. 、、144 ○
4. より 8。検算：中心を通る弦の2つの長さが と で一致 ○
5. より 6。検算： ○
6. 方べきの値 16、接線の長さ 4。検算：、、 ○
7. なので 、6。検算： ○

まとめ

• 方べきの定理は「Pから円までの2つの長さの積は一定」という1つの事実
• その値は。内部・外部・接線で共通
• 接線は2つの交点が重なった場合だから
• 証明は3つとも相似 → 比の等式 → たすきにかける
• 使う根拠だけが違う（対頂角＋円周角／内接四角形の外角／接弦定理）
• 逆も成り立つ：積が等しければ4点は同一円周上
• 検算は／中心を通る直線／接線の長さ

「点Pから円までの積」は、数IIの円の方程式で に点の座標を代入した値としてそのまま現れます。3つの図を別々に覚える必要はありません。中心からの距離と半径さえ分かれば、値は一発で出る——この見方に切り替えるだけで、方べきの問題はほぼ計算問題になります。