放物線と直線の交点を求める問題が解けない｜中3関数y=ax²

「放物線 と直線 の交点を求めよ」——中3の後半で必ず出るタイプですが、どこから手をつければいいか分からず止まる人が多い問題です。

実は一次関数どうしの交点とまったく同じ考え方で解けます。違うのは、出てくる方程式が二次方程式になることだけです。

結論：連立して を消す

交点は両方の式を同時に満たす点です。だから が同じ値になるので、右辺どうしを等しいとおきます。

1. を消して の二次方程式を作る
2. 因数分解または解の公式で を求める
3. どちらかの式に代入して を求める
4. もう一方の式で検算する

手順は一次関数のときと同じ。ステップ2が二次方程式になるだけです。

実際に解く

と の交点を求めます。

ステップ1： を消す

すべて左辺に集めます。

ステップ2：解く

かけて 、たして の2数は と 。

ステップ3： を求める

計算が楽な に代入します。

• のとき
• のとき

交点は と 。

ステップ4：検算

放物線 のほうで確認します。

○、 ○。両方とも放物線上にあります。

交点の個数は判別式で決まる

ステップ1で作った二次方程式の解の個数が、そのまま交点の個数になります。

判別式	方程式の解	放物線と直線
	2個	2点で交わる
	1個（重解）	接する
	0個	交わらない

上の例では の判別式が なので2個。実際に交点は2つでした。

接する例

と 。

重解 。交点は の1つだけ——接している状態です。

【検算】放物線で 、直線で 。一致します。

判別式は 。「接する」＝「重解」という対応が確認できました。

交わらない例

と 。

判別式は 。実数解なし＝交点なしです。

【検算】平方完成すると 。どんな実数 でも 以上なので、0になりません。確かに解はありません。

【検算】いろいろな組で確認

放物線	直線	方程式	判別式	交点
			9
			0	のみ
			16
			25

3行目は定数項がないので、共通因数でくくれます。

解の公式を使う必要はありません。因数分解できる形かどうかを先に見てください。

座標平面上の三角形の面積へつながる

交点を求めたあと、「その2点と原点でできる三角形の面積」を問われるのが定番の続きです。

と の交点 、、原点 の三角形を考えます。

直線 の 切片は 。この点を とすると、 は を共通の底辺とする2つの三角形に分けられます。

底辺 。高さはそれぞれ点A、Bの 座標の絶対値（1 と 2）。

面積は3。

【検算】座標から直接計算します（三角形の面積公式）。

一致しました。

よくあるミス

ミス1： だけ求めて終わる

交点は座標です。 で止めず、 も求めて 、 と書きます。

ミス2：放物線の式に代入して計算を増やす

を求めるときは直線のほうに代入するのが楽です。 なら足し算だけで済みます。

そのうえで放物線のほうで検算すれば、両方確認できて一石二鳥です。

ミス3：因数分解できるのに解の公式を使う

のように定数項がない場合は、共通因数でくくるのが最速です。解の公式に入れると計算量が無駄に増えます。

手順は「共通因数 → 因数分解 → 解の公式」の順に試すこと。

練習問題

1. と の交点を求めなさい。
2. と の交点を求めなさい。
3. と の交点を求め、位置関係を述べなさい。
4. と の交点の個数を判別式で答えなさい。
5. 問題1の2つの交点と原点でできる三角形の面積を求めなさい。

解答

1. より 、。交点は と
2. より 、。交点は と 。検算： ○、 ○
3. より 、重解 。交点は の1つで、接している
4. の判別式は 。交点は0個
5. 2交点は と 。一方が原点なので三角形ができません（3点が一直線上：原点も直線 上にある）。面積は0

まとめ

• 交点は両方の式を満たす点。だから連立して を消す
• 出てくるのは二次方程式。手順自体は一次関数のときと同じ
• 判別式の符号＝交点の個数。 は「接する」
• は直線のほうに代入し、放物線で検算する
• 定数項がなければ共通因数でくくる。解の公式は最後の手段
• 答えは必ず座標の組で書く

この処理は高校の「二次関数と直線の位置関係」「解の配置」「軌跡」へそのまま続きます。中3で「交点＝連立の解」「接する＝重解」を押さえておけば、高校で新しく覚えることはほとんどありません。