星形五角形の角の和の求め方｜中2平行と合同

星形五角形の先端にある5つの角。その和はいくつでしょうか。

答えは180度。しかも、どんなにいびつな星でも180度

形によらず一定——だからこそ、計算だけで求められます。

使う道具は2つだけ

道具	内容
三角形の内角の和	180度
五角形の内角の和	540度

五角形の内角の和は 度。これは公式から出ます。

解き方：先端の三角形に注目する

星形の内側には小さな五角形があり、その周りに5つの三角形がついています。

先端の角を 、その三角形の残り2つの角を見ます。この2つは、中央の五角形の内角の外角です。

中央の五角形の内角を 、 とすると、外角はそれぞれ 、。三角形の内角の和より

整理すると

先端の角は、となり合う2つの内角から180を引いたものです。

5つ足す

5つの先端すべてで同じ式が成り立ちます。足し合わせると、中央の五角形の内角がそれぞれ2回ずつ出てきます。

先端の角の和は

180度です。

【検算1】式の意味を確認します。内角が2回ずつ数えられるのは、中央の五角形の各頂点が2つの三角形に接しているからです ○

【検算2】 は、5つの三角形それぞれで180を引いたぶん ○

正五芒星で確かめる

正五角形の対角線を引いてできる星（正五芒星）で、先端の角を求めなさい。

中央にできるのも正五角形なので、内角はすべて108度。さきほどの式に入れると

先端の角は36度。5つあるので

【検算1】正五角形の内角を確かめます。

○

【検算2】先端の三角形は二等辺三角形で、底角は 度。

この72度は正五角形の内角108度の外角です。

一致 ○

【検算3】36度は正五角形の中心角72度の半分でもあります。円周角の定理と合っています ○

いびつな星でも同じ

ここが面白いところです。星の形をどれだけゆがめても、先端の和は180度のまま。

理由は、使った式が五角形の内角の和（540度）だけに依存しているからです。五角形は、どんな形でも内角の和が540度です。

【検算】先端の角が 度と分かっているとき、残りは

50度と決まります ○　4つ決まれば5つ目は自動的に決まる、ということです。

別の解き方：外角の定理でたどる

三角形の外角は内対角の和という定理を使う方法もあります。

2つの先端角を1つの角にまとめる、という操作を繰り返すと、5つの角が1つの三角形の内角に集まります。三角形なので和は180度。

【検算】どちらの方法でも180度——答えが一致します ○　2通りで解けたら、まず間違いありません。

七角の星ではどうなるか

同じ考え方が使えます。1つ飛ばしで結ぶ星形七角形なら、中央にできるのは七角形。その内角の和は

中央の内角が2回ずつ数えられるので、先端の和は

540度です。

【検算】五角形のときは 。同じ形の式で、頂点が2つ増えると360度増える——規則的です ○

この方法は星の頂点の数が増えても使えます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 発展問題として扱われるから

多角形の内角・外角の和は必修ですが、星形は応用問題です。教科書では章末や補充に置かれます。

そのため解き方の型を教わる機会が少なく、初見で「どこから手をつけるか」が分かりません。

2. 「形によらない」ことが確認しにくいから

いびつな星でも180度——これは実際に何通りか試さないと納得しにくい。

授業では1つの図で説明するため、「この図だからこうなった」と思われがちです。

3. 外角の定理の使い方が定着していないから

「外角＝内対角の和」は中2で習いますが、繰り返し使う問題は多くありません。

星形では2回・3回と連続して使います。この経験がないと、途中で手が止まります。

【検算】3つの方法

1. 正五芒星で具体的に計算する

最も確実です。36度が5つで180度。

【検算】 ○

2. 2通りの方法で解く

五角形の内角からと外角の定理から——どちらでも180度 ○

3. 4つ決めて5つ目を求める

【検算】、残りは50度 ○　和が180になっています

よくあるミス

ミス1：五角形の内角の和を間違える

です。

ミス2：中央の五角形の角を1回しか数えない

2つの三角形に接するので2回です。

ミス3：外角と内角を取り違える

が外角です。

ミス4：正五芒星の場合だけで一般化する

いびつな星でも成り立ちます（証明が必要）。

ミス5：先端の三角形を5つ数え忘れる

5つあります。

ミス6：答えを360度と思い込む

180度です。外角の和と混同しないこと。

練習問題

1. 五角形の内角の和を求めなさい。
2. 星形五角形の先端の角の和を求めなさい。
3. 正五角形の1つの内角を求めなさい。
4. 正五芒星の先端の角を求めなさい。
5. 4を5つ足して2の答えと一致するか確かめなさい。
6. 先端の4つが20・30・40・40度のとき、残りを求めなさい。
7. 正五芒星の先端の三角形の底角を求めなさい。

解答

1. 540度
2. 180度
3. 108度
4. 36度
5. ○
6. 50度
7. 72度

まとめ

• 星形五角形の先端の和は180度
• 使うのは三角形180度と五角形540度だけ
• 先端の角＝となり合う2つの内角－180
• 中央の内角は2回ずつ数えられる
• 形をゆがめても和は変わらない
• 検算は正五芒星で具体化／2通りで解く／4つから5つ目

「形が変わっても答えが変わらない」——これは数学でよく現れる、美しい性質です。星をどうゆがめても180度。その理由が式の中に見えていることに気づけたら、図形の面白さが一段深くなります。