位置ベクトルで内分点の公式を導く｜数Cベクトル

内分点の公式は比が「たすきがけ」でつきます。 に内分するのに、 の係数が 、 の係数が 。

これを暗記で乗り切ろうとすると、必ずどこかで逆にします。導出は3行。1回やれば、二度と迷いません。

結論：公式とその形

線分ABを に内分する点をPとすると

に 、 に ——比と逆につきます。

覚え方より、意味で理解する

が大きいほどPは に近づきます（ が長い）。

近い点ほど影響が強いはずなので、 の係数が大きくなる。だから に 。

【検算】 なら 。Bの重みが3倍で、確かにBに近い ○

導出：3行で出る

Pへは「AまでいってからPへ」と考えます。

なので、 は の 倍。

でまとめます。

——ここで が現れます。たすきがけの正体はこの引き算です。

【検算】 で確かめます。

Aの係数が 、Bの係数が ○　確かにBの重みが大きい。

座標で確かめる

、 を に内分する点Pを求めよ。

【検算1】比を実際に測ります。

なので ○

【検算2】長さでも確かめます。

比は ○

【検算3】Pが線分AB上にあるか。 で 。0と1の間なので内分 ○

中点は

【検算】、 の中点は

公式でも ○

中点は「たすきがけ」が見えないので、比が同じ場合で公式を覚えると危険です。

外分は を負にするだけ

線分ABを に外分する点Qは

なぜ符号を変えるだけでよいのか

外分点は「 に内分する点」と考えられます。内分の公式に を入れれば

公式を2つ覚える必要はありません。

【検算】、 を に外分すると

【検算2】比を測ります。

で、向きが逆——だから外分 ○

【検算3】Qの位置。 なので、Bを通り越した先にあります ○

重心も内分点から出る

三角形ABCの重心Gについて

導出

BCの中点をMとすると、重心は中線AMを に内分します。

内分の公式（、AからMへ）を使うと

2が約分で消えて、きれいな形になりました。

【検算】、、 で確かめます。

【検算2】中線で確かめます。BCの中点は

なので ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 公式が短いので、導出より先に覚えられるから

は1行で書けます。だから公式として覚えるほうが早い。

ところがたすきがけは記憶に残りにくい形です。 という引き算から出ると知っていれば、その場で作り直せます。導出は3行です。

2. 中点の例が多く、たすきがけが見えないから

導入では中点がよく使われます。 なので、比が逆かどうか分かりません。

そのため「係数が逆につく」という肝心の特徴が印象に残らないまま、 のような問題で初めて間違えることになります。

3. 外分・重心が別の公式として並ぶから

外分は を負にするだけ、重心は内分を2回使うだけです。

ところが教科書ではそれぞれに公式が与えられるため、覚えるべき式が3つあるように見える。実際には1つの公式の使い回しだと分かれば、負担が3分の1になります。

【検算】3つの方法

1. 座標に直して計算する

成分で計算すれば必ず確かめられます。

【検算】 ○

2. 比を実際に測る

と の成分が になっているか見ます。

【検算】 なので ○

3. 中点で確かめる

にすると中点になるはずです。式の形が正しいかの確認になります。

【検算】 で ○

よくあるミス

ミス1：比を逆につける

Aに 、Bに 。導出の引き算から確かめられます。

ミス2：分母を や にする

分母は （外分なら ）です。

ミス3：外分で分母の符号を間違える

です。 を入れれば自動的にこうなります。

ミス4： の外分を考える

分母が0になります。 の外分点は存在しません。

ミス5：重心を中点と混同する

3頂点の平均です。2点の平均ではありません。

ミス6：始点Oを揃えずに計算する

すべて同じ点を始点にします。混ざると意味が壊れます。

練習問題

1. 内分点の公式を から導きなさい。
2. 、 を に内分する点を求めなさい。
3. ABの中点を求めなさい。
4. ABを に外分する点を求めなさい。
5. 、、 の重心を求めなさい。
6. 5の重心が中線を に分けることを確かめなさい。
7. 係数が「たすきがけ」になる理由を説明しなさい。

解答

2. 。検算： ○
4. 。検算： ○
6. 、、。 ○
7. となり、Aの係数に が現れるから

まとめ

• （ に内分）
• たすきがけの正体は
• 近い点ほど係数が大きいと考えると意味で覚えられる
• 中点は 、外分は
• 重心は内分を2回使えば出る（3頂点の平均）
• 検算は座標で計算／比を測る／中点で確認

位置ベクトルの強みは「点を1つのベクトルで表せる」ことです。すると内分・外分・重心が、すべて足し算とわり算だけで書けるようになる。図形の問題が計算に変わる——それがベクトルを学ぶ理由です。公式を3つ覚えるのではなく、1つを使い回してください。