2点から式を求める手順が定着しない｜中2一次関数

「2点 、 を通る直線の式を求めよ」——中2の一次関数で必ず出る問題ですが、手順が定着せず毎回思い出せないという声が多い部分です。

やることは2ステップだけ。順番を固定してしまえば、どんな数でも同じ作業で終わります。

結論：傾きを出す → 通る点を代入する

1. 傾き を計算する（ の増加量 ÷ の増加量）
2. どちらか一方の点を に代入して を出す

それだけです。以下、実際に手を動かします。

手順を実演する

2点 、 を通る直線を求めます。

ステップ1：傾きを出す

は1から3へ、 は5から9へ。

傾き （ の増加量）÷（ の増加量）

この時点で まで決まりました。

ステップ2：点を代入する

を代入します。

よって求める式は

【検算】もう一方の点 も通るか確認します。。通ります。

この確認が重要です。代入していないほうの点で必ず検算すると、計算ミスがその場で分かります。

どちらの点を代入してもよい

ステップ2で を使っても同じ答えになります。

同じ 。計算が楽なほう（数が小さいほう、0が含まれるほう）を選んで構いません。

傾きの計算で分母・分子を取り違えないために

いちばん多いミスが分母と分子の逆転です。

覚え方は「傾き＝縦÷横」。坂道の傾きを考えれば、横に進んだ距離に対して縦にどれだけ上がったか、です。

分子が 、分母が 。逆にすると値が変わってしまいます。

【検算】上の例で逆にすると 。この傾きで を通る直線は 。
を入れると 。通りません。検算すれば必ず気づけます。

引く順番は揃える

でも でも、分子と分母で順番が揃っていれば同じ値になります。

揃っていないときだけ危険です。 となり、符号が逆になります。

特殊な場合

座標が同じとき（縦の直線）

2点 、 は傾きが計算できません（分母が0になる）。

この直線は という形で表します。 の形では書けないので、一次関数ではありません。

座標が同じとき（横の直線）

2点 、 なら傾きは 。式は 。

傾き0の直線で、これは一次関数に含まれます（定数関数）。

【検算】いくつかの2点で通しで確認

2点	傾き	切片	式	もう一方で検算
				○
				○
				○
				○

すべて検算が通りました。3行目は1行目と同じ直線です（ も も 上にあります）。

切片が最初から分かる場合

片方の点の 座標が0なら、その点の 座標がそのまま切片です。

上の表の2行目 がそれです。 が即座に分かるので、傾きだけ計算すれば終わります。

問題を見たらまず「 の点はないか」を探すと、計算が1段階減ります。

よくあるミス

ミス1：傾きの分母分子を逆にする

上で見たとおりです。縦÷横。検算すれば必ず気づけます。

ミス2：引く順番が分子と分母で揃っていない

のような書き方をすると符号が逆になります。どちらの点を「1番目」にするかを先に決めて、両方で統一します。

ミス3：代入した点でしか確認しない

を求めるのに使った点は、当然その式を満たします。検算になりません。必ず使っていないほうの点で確認してください。

練習問題

1. 2点 、 を通る直線の式を求めなさい。
2. 2点 、 を通る直線の式を求めなさい。
3. 2点 、 を通る直線の式を求めなさい。
4. 2点 、 を通る直線の式を求めなさい。
5. 2点 、 を通る直線の式を求めなさい。

解答

1. 傾き 。 より 。（比例）。検算： ○
2. より切片は 。傾き 。。検算： ○
3. 傾き 。 より 。。検算： ○
4. 傾き 。（横の直線）
5. 座標が同じなので傾きが計算できない。（縦の直線。一次関数ではない）

まとめ

• 手順は2ステップ：傾きを出す → 点を代入して切片を出す
• 傾きは縦÷横。分子が 、分母が
• 引く順番は分子と分母で必ず揃える
• 代入する点はどちらでもよい。楽なほうを選ぶ
• 使っていないほうの点で必ず検算する
• 座標が同じなら （一次関数ではない）、 座標が同じなら

2点から直線を決める作業は、中3の放物線と直線の交点、高校の図形と方程式、微分の接線——直線が出てくるあらゆる場面で使います。手順を固定しておけば、本題のほうに集中できます。