一次独立の意味と使いどころ｜数Cベクトル

問題文の「 は一次独立とする」——これをただの前提だと思って読み飛ばしていませんか。

この一文があるから係数比較ができるのです。ベクトルの問題が解ける理由そのものが、ここにあります。

結論：一次独立だから係数比較できる

が一次独立　⇔　どちらも でなく、平行でない

このとき、次が成り立ちます。

これが「係数比較」です。ベクトルの問題で連立方程式が立てられるのは、この性質のおかげです。

定義の形

2つは同じことです。上の式で移項すれば となり、係数が0、つまり 、。

なぜ平行だとダメなのか

反例を見るのが一番速いです。

、 とします。 なので平行——一次独立ではありません。

このとき を表してみます。

表し方が2通り出てきました。係数が でも でも同じベクトルになる。

これでは係数比較ができません。「係数が等しい」と言えないからです。

【検算】他の表し方もあります。

○　無数にあることが分かります。

一次独立なら一通りに決まる

、 は平行ではありません。 を表すと

解くと 。これ以外にありません。

【検算】上の式を2倍して下の式から引くと 、つまり 。一意に決まりました ○

判定は成分で

、 が一次独立　⇔　

【検算1】 と ：

一次独立 ○

【検算2】 と ：

一次独立でない（平行）○

この判定式は平行かどうかの判定式と同じです。「平行でない＝一次独立」だから当然です。

使いどころ：交点の位置ベクトル

△OAB で、辺OAを に内分する点をC、辺OBの中点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとするとき、 を 、 で表せ。

2通りに表す

Pは線分AD上なので、 の形で

（ だから）

Pは線分BC上でもあるので

（ だから）

係数比較する

ここで一次独立を使います。 が一次独立なので

2つ目から 。1つ目に代入して

したがって 。

【検算1】もう一方の式にも代入します。 なので

一致 ○

【検算2】座標で確かめます。、、 とすると

公式から 。

直線ADの上にあるか：Aから 進むと

○

直線BCの上にあるか：Bから 進むと

○　2直線の交点として一致しました。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「一次独立とする」が問題文の前提として流れるから

問題には最初から「一次独立とする」と書いてあります。だから読者は与えられた条件として受け取る。

ところがこの条件は解法そのものを支えています。係数比較の根拠だと知らないまま解いていると、答案で「一次独立だから」と書くべき場面を落とします。

2. 一次従属の反例が示されにくいから

教科書の問題はすべて一次独立です。だからそうでない場合に何が起きるかを見る機会がない。

平行だと表し方が無数にある——この事実を1回計算すれば、条件の意味が実感できます。反例は理解の近道ですが、問題としては出しにくい形です。

3. 定義と実用の対応が結ばれにくいから

定義は。実用は「平行でない」。

この2つは同じことの言い換えですが、見た目がまったく違います。定義は抽象的で、判定は具体的。両者を結ぶ一言（平行なら一方を他方で表せてしまう）があると、すっきりします。

【検算】3つの方法

1. 成分で判定式を計算する

なら一次独立です。

【検算】： ○

2. 求めた係数を両方の式に代入する

2通りの表し方が一致するはずです。

【検算】 と でどちらも ○

3. 座標に直して交点を直接求める

具体的な座標を入れれば、直線の交点として確かめられます。

【検算】 で ○

よくあるミス

ミス1：一次独立に触れずに係数比較する

根拠を書きます。「 は一次独立だから」の一言。

ミス2：平行なベクトルで係数比較する

表し方が一通りでありません。成り立ちません。

ミス3：零ベクトルを含めてしまう

どちらも でないことが条件に含まれます。

ミス4：内分点の係数を逆にする

なら 。たすきがけです。

ミス5：媒介変数を2つの直線で同じ文字にする

別の文字（ と ）を使います。

ミス6：判定式を内積と混同する

内積が0は垂直。一次独立の判定は です。

練習問題

1. と が一次独立か判定しなさい。
2. と が一次独立か判定しなさい。
3. 2のベクトルで を2通りに表しなさい。
4. △OAB でOAを に内分する点C、OBの中点Dとし、ADとBCの交点Pについて を求めなさい。
5. 4を で検算しなさい。
6. 一次独立の定義を書きなさい。
7. 一次独立でないと係数比較ができない理由を説明しなさい。

解答

1. より一次独立
2. より一次独立でない（）
3. と 。どちらも （他にも無数）
4. 係数比較から 。
5. 。AD上でもBC上でも一致 ○
6. ならば （どちらも でなく平行でない）
7. 表し方が一通りに決まらないから。平行なら同じベクトルを違う係数で表せてしまう

まとめ

• 一次独立 ⇔ どちらも でなく、平行でない
• 定義は
• 一次独立だから係数比較できる（表し方が一通り）
• 平行だと表し方が無数にあるので比較できない
• 判定は
• 交点の問題は2通りに表して係数比較
• 検算は判定式／両方の式に代入／座標で交点を計算

一次独立は「座標軸として使える」ということです。 が一次独立なら、平面上のどんな点も の形でただ一通りに表せる——それは を新しい座標軸にしたのと同じ。斜めの座標系を自分で作れる——これがベクトルの本当の力です。