変域（xの範囲からyの範囲）を求める｜中2一次関数

変域の問題でつまずくのは、ほぼ1か所です。

傾きが負のとき、両端の対応が入れかわる

xの最小がyの最小になるとは限りません。グラフの向きで決まります。

手順は「両端を代入する」

一次関数はまっすぐな線なので、途中で上がったり下がったりしません。

xの端でyも端になる

だから両端のxを代入して、小さいほうを下限、大きいほうを上限にすればよいのです。

やってみる1：傾きが正のとき

で、 のときのyの変域を求めなさい。

両端を代入

傾きが正（右上がり）なので、xが増えるとyも増えます。

【検算1】途中の を入れると 。 と7の間にあります ○

【検算2】 なら 。これも範囲内 ○

やってみる2：傾きが負のとき

で、 のときのyの変域を求めなさい。

両端を代入

xの最小がyの最大になりました。傾きが負（右下がり）だからです。

【検算1】 なら 。 と3の間 ○

【検算2】xが増えるとyは減っています。 に対して ○

傾き	xの最小	xの最大
正	yの最小	yの最大
負	yの最大	yの最小

迷ったら、代入した2つを比べて小さいほうを下に書く——これで確実です。

等号の有無にも注意

で、 のときのyの変域を求めなさい。

は含まないので、対応する も含みません。

は含むので、対応する は含みます。

等号の位置も入れかわります。傾きが正なら のように、そのままの対応です。

【検算】 なら 。3より小さく、3にはならない ○　xが に近づくほどyは3に近づくが、届かない——これが等号なしの意味です。

yの変域からxの変域を求める

で のとき、xの変域を求めなさい。

今度はxについて解きます。

【検算】 なら 、 なら ○　もとの式に戻して確認できます。

変域から式を決める（2通りある）

一次関数 で、 のとき でした。 と を求めなさい。

傾きの符号がわからないので、両方調べます。

傾きが正のとき

で 、 で 。

引くと なので 、。

傾きが負のとき

で 、 で 。

引くと なので 、。

または

【検算1】： で 、 で3 ○

【検算2】： で3、 で ○

【検算3】どちらも変域の幅は 。xの幅は なので

傾きの大きさは2——符号だけが2通り ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「両端を代入」で答えが出てしまうから

手順としては2つ代入して並べるだけです。だから作業として教えれば授業は進みます。

ところがなぜ端どうしが対応するのか——一次関数が単調に増える（または減る）から——という理由が示されないと、二次関数で必ず崩れます。放物線では端が最大とは限りません。

2. 不等号の等号が細かい話に見えるから

か か——答えの本質ではないように見えます。

しかし傾きが負だと等号の位置も入れかわります。ここは正の場合の練習だけでは気づけない部分で、確認する場面が作られにくいのです。

3. 「2通りある」型は場合分けが必要だから

変域から式を求める問題は傾きの符号で場合分けします。答えが2つ出る問題は、中学ではまだ少ない。

「答えは1つ」という思い込みがあると、片方で満足して終わります。

【検算】3つの方法

1. 両端のxを実際に代入する

最も確実です。

【検算】： で3、 で ○

2. 途中のxを1つ入れてみる

求めた範囲に収まるかを見ます。

【検算】 で 。 ○

3. 傾きの符号と対応が合っているか

正なら同じ向き、負なら逆です。

【検算】傾き なので、xの最小 がyの最大3に対応 ○

よくあるミス

ミス1：傾きが負でも同じ順で書く

入れかわります。

ミス2：等号の有無を写し間違える

対応する端の等号を引き継ぎます。

ミス3：小さいほうを右に書く

小さいほうが左です。

ミス4：xの変域とyの変域を取り違える

どちらを聞かれているか確認します。

ミス5：式を決める問題で1通りで終わる

傾きの符号で2通りです。

ミス6：グラフをかかずに進める

図があれば一目でわかります。

練習問題

1. 、 のときのyの変域を求めなさい。
2. 、 のときのyの変域を求めなさい。
3. 2で のときのyを求め、範囲に入るか確かめなさい。
4. 、 のときのyの変域を求めなさい。
5. 、 のときのxの変域を求めなさい。
6. で となる一次関数をすべて求めなさい。
7. 6の答えが2つになる理由を答えなさい。

解答

3. 。 ○
6. と
7. 傾きが正か負かで、両端の対応が入れかわるから

まとめ

• 一次関数はまっすぐなので、xの端でyも端になる
• 手順は両端を代入して並べる
• 傾きが負なら対応が入れかわる（等号の位置も）
• yの変域からxを求めるにはxについて解く
• 変域から式を決める問題は2通り
• 検算は両端の代入／途中の値／傾きの符号

変域は「グラフの一部だけを見る」という考え方です。関数を式だけで扱っていると混乱しますが、線を引いて、その一部を指でなぞれば迷いようがありません。二次関数に進むと端が最大とは限らなくなります。いまのうちに「なぜ端なのか」を押さえておいてください。