一次関数と比例は何が違うのか｜中2一次関数

中1で比例、中2で一次関数。グラフはどちらも直線で、式も似ています。「何が違うの？」と聞かれて説明できない生徒は非常に多いです。

違いはたった1つです。そしてその1つが、後の単元でずっと効いてきます。

結論：切片があるかないか、それだけ

	比例	一次関数
式
グラフ	直線	直線
原点を通るか	必ず通る	通るとは限らない
のとき

つまり比例は一次関数の特別な場合（ のとき）です。

逆に言えば、一次関数は比例のグラフを上下にずらしたもの。 はそのずらし幅です。

なぜ を「切片」と呼ぶのか

軸を切る点だからです。 を代入すると

グラフは必ず点 を通ります。これが 切片です。

比例 では なので 、つまり原点を通ります。

具体例で見る

	（比例）	（一次関数）	差
			3
			3
			3
			3
			3

差はどこでも3で一定。グラフ全体が3だけ上にずれているだけで、傾きは同じです。

比例だけが持つ性質：「何倍かすると何倍になる」

比例には、一次関数にはない大事な性質があります。

を2倍すると も2倍になる。

で確かめます。 のとき 。 を2倍して にすると 。確かに2倍です。

一次関数ではこれが成り立ちません。 で のとき 。 にすると 。5の2倍は10なのに、7にしかなりません。

だから「比例する」という言葉を一次関数に使ってはいけません。理科の実験レポートなどでよく混同されます。

比例の判定法

が常に同じ値になるかを見ます。

1	2	2	5	5
2	4	2	7	3.5
3	6	2	9	3
4	8	2	11	2.75

比例は が一定、一次関数はバラバラ。これが判定の決め手です。

両方に共通するもの：変化の割合

どちらも「 が1増えると がいくつ増えるか」は一定です。この値が （傾き）です。

（ の増加量）÷（ の増加量）

【検算】 で が1から3に増えると（増加量2）、 は5から9へ（増加量4）。

確かに傾きの2と一致します。切片がいくつであっても、この値は変わりません。

比例 でも同じ区間で は2から6（増加量4）、。同じです。

【検算】区別が実際に効く場面

「針金1mの重さが4gのとき、 mの重さ g」——これは比例です。。0mなら0gだからです。

「バネに gのおもりを吊るしたときの全長 cm。自然長は10cmで、1gにつき0.5cm伸びる」——これは一次関数です。。おもりが0gでも長さは10cmあるからです。

おもり （g）	全長 （cm）
0	10	—
10	15	1.5
20	20	1.0
40	30	0.75

が一定でないので、比例ではありません。ここを「比例」と書くと、理科でも数学でも誤りになります。

よくあるミス

ミス1：直線ならすべて比例だと思う

グラフが直線でも、原点を通らなければ比例ではありません。「直線＝比例」ではなく「原点を通る直線＝比例」です。

ミス2：「増える」だけで比例と判断する

が増えれば も増える関係はたくさんありますが、比例は「同じ倍率で増える」という強い条件です。上のバネの例が反例になります。

ミス3：切片を傾きと取り違える

の傾きは3、切片は2です。 にかかっているほうが傾きと覚えます。

確認法： を入れて出てくる値が切片。 ○。

練習問題

1. と の傾きと切片をそれぞれ答えなさい。
2. 次のうち比例はどれか。(ア) (イ) (ウ) (エ)
3. 「1個80円のりんごを 個買ったときの代金 円」は比例か一次関数か。
4. 「1個80円のりんごを 個買い、200円の箱に入れたときの合計 円」は比例か一次関数か。式も書きなさい。
5. で が2から5に増えるとき、 の増加量を求めなさい。

解答

1. ：傾き5、切片0／：傾き5、切片
2. (ア) と (ウ)。(イ) は切片1があるので一次関数、(エ) は直線ですらない
3. 比例。。0個なら0円
4. 一次関数。。0個でも箱代200円がかかる
5. の増加量3、傾き4なので の増加量は 。検算： で 、 で 、差は12 ○

まとめ

• 違いは切片 があるかないかだけ。比例は の一次関数
• 比例は必ず原点を通る。一次関数は を通る
• 比例だけが「 を2倍すると も2倍」を満たす
• 判定は が一定かどうか
• 傾き（変化の割合）は両方に共通で、切片の値には影響されない
• 「直線＝比例」ではない。原点を通る直線だけが比例

この区別は、中3の 、高校の一次関数と定数関数、数IIの微分（変化の割合の極限が微分係数）へつながります。「切片があるかないか」という一点を押さえておけば、後で式の形が複雑になっても構造が見えます。