因数分解の手順（何から試すか）がわからない｜中3多項式

因数分解の問題を前にして、「どの公式を使えばいいのか分からず手が止まる」——これは中3でも高1でも、いちばん多いつまずきです。

公式を1つずつ覚えても解けるようになりません。必要なのは試す順番です。順番さえ決まっていれば、初見の式でも上から順に当てはめるだけで処理できます。

結論：この4ステップを上から順に試す

1. 共通因数でくくれないか（いちばん最初。ここを飛ばす人が非常に多い）
2. 公式の形になっていないか（項の数で見分ける）
3. たすきがけができないか（ の係数が1でないとき）
4. 置き換え・次数の低い文字で整理できないか（複雑な式のとき）

この順に固定します。以下、それぞれで何を見るかを具体的にします。

ステップ1：まず共通因数を探す（最優先）

すべての項に共通してかかっている数・文字がないかを最初に確認します。ここを飛ばすと、後の作業が何倍も面倒になります。

係数の と の最大公約数 、そして両方にある をくくり出しました。

共通因数を見落とすと、たとえば次の式で詰まります。

を先にくくれば、残りは有名な公式そのものです。くくらずに のまま公式を探しても、どの公式にも当てはまりません。

【検算】展開して戻します。。もとの式と一致しました。

ステップ2：項の数で公式を見分ける

公式は「いくつ覚えるか」ではなく「何項の式か」で引き当てると迷いません。

2項のとき → 平方の差を疑う

「2乗ひく2乗」の形かどうかだけを見ます。

注意： は因数分解できません。符号がプラスのときは、この公式は使えません。

3項のとき → まず平方の形、次に和と積

3項なら、はじめに完全平方式かどうかを見ます。

見分け方は「両端が2乗になっていて、真ん中がその2つの積の2倍」です。

真ん中の が になっているので当てはまります。

完全平方でなければ、和と積で探します。

なら、かけて12、たして7になる2数を探します。 と です。

符号の決め方は次のとおりです。

定数項の符号	2数の符号	見るところ
	同符号	の係数の符号と同じ
	異符号	絶対値が大きいほうが の係数の符号

例： は定数項が負なので異符号。かけて 、たして の組は と 。

ステップ3：たすきがけ（ の係数が1でないとき）

のように の係数が1でない場合は、和と積では処理できません。たすきがけを使います。

やることは「かけて になる組」と「かけて になる組」を並べ、たすきにかけた和が になる組み合わせを探すだけです。

左（ の係数）	右（定数）	たすきの積の和	判定
			✕
			○

【検算】展開すると 。一致しました。

探す順のコツ：定数項の候補が少ないほうから試します。 は素数なので組は と の2通りしかなく、すぐ終わります。

ステップ4：置き換え・次数の低い文字で整理

同じかたまりが繰り返されているとき

とおくと 。 を戻して

【検算】もとの式に を入れると 。答えの式は 。一致します。

文字が2種類以上あるとき

いちばん次数の低い文字について整理するのが鉄則です。

について整理すると（ は1次）

【検算】 を代入。もとの式は 、答えの式は 。一致しました。

【検算】4ステップで実際に解けるか通しで確認

初見の式 に順番どおり当てはめます。

1. 共通因数： がある →
2. 公式： は2項で平方の差 →

ステップ2で終了しました。展開して確認：。もとの式に戻ります。

もし共通因数を飛ばして のまま平方の差を使おうとすると、 が「何かの2乗」にならないため手が止まります。ステップ1を飛ばさない理由がここにあります。

よくあるミス

ミス1：共通因数をくくり忘れる

いちばん多いミスです。 を と答えてしまう例をよく見ます。間違いではありませんが因数分解が途中で止まっています。正しくは

答えたあとに「まだくくれる部分はないか」を必ず見直してください。

ミス2： を無理に分解しようとする

はこれ以上分解できません（中学・高校の実数の範囲では）。符号がプラスの2項は、共通因数がなければそこで終わりです。

ミス3：たすきがけで符号を取り違える

定数項が負のときは必ず異符号の組になります。 なら 。

【検算】展開して 。一致します。

練習問題

1. を因数分解しなさい。
2. を因数分解しなさい。
3. を因数分解しなさい。
4. を因数分解しなさい。
5. を因数分解しなさい。

解答

1. 共通因数 →
2. 3項で完全平方（）→
3. かけて 、たして → と →
4. たすきがけ。。検算：

まとめ

• 因数分解は公式の暗記量ではなく試す順番で決まる
• 共通因数 → 公式（項の数で判別）→ たすきがけ → 置き換えの4ステップを固定する
• 2項なら平方の差、3項ならまず完全平方、次に和と積
• 答えを出したら展開して戻し、さらにまだくくれないかを確認する

因数分解は中3で終わる単元ではありません。高校の二次関数、方程式、微分積分まで、式を扱うすべての場面で使い続けます。手順として身につけておくと、その後の負担がはっきり変わります。