因数分解を使った数の計算・証明ができない｜中3多項式

因数分解は計算の道具です。ところが「因数分解しなさい」という問題は解けるのに、因数分解を使って計算する問題になると手が止まる。

を筆算で計算しようとする。 を真面目に と計算する。因数分解を使えば暗算で終わります。

結論：平方の差を見たら因数分解する

最も使う場面は平方の差です。

この公式は右向きにも左向きにも使えます。数の計算では左辺から右辺へ使うのが有効です。

を計算しなさい。

まともに計算すると 。 の筆算が面倒です。

因数分解すると

暗算で終わりました。

【検算】 なので ○。

なぜ楽になるのか

足すとキリのよい数になるからです。。かけ算がしやすい形に変わります。

この効果が出るのは、2数の和か差がキリのよい数になるとき。

式	因数分解	計算
		9600
		10200
		49
		360

3行目に注目してください。差が1のときは、 となり、足すだけで答えが出ます。

【検算】、。 ○。確かに です。

共通因数を使う型

を計算しなさい。

2つのかけ算をしてから足すと大変です。37が共通因数なのでくくり出します。

【検算】、。 ○。

「同じ数が2回かけられている」のを見たら、くくり出す。分配法則の逆向きです。

式の値を求める型

、 のとき、 の値を求めなさい。

そのまま代入すると 。2つの2乗を計算することになります。

先に因数分解します。

【検算】 ○。

代入する前に因数分解する——これが式の値の問題の鉄則です。

もう1つの例

、 のとき、 の値を求めなさい。

因数分解すると 。

【検算】そのまま計算すると ○。小数の計算が3回から1回に減りました。

証明に使う型

連続する2つの奇数の2乗の差は8の倍数になる。これを証明しなさい。

連続する2つの奇数を 、 とします（ は整数）。2乗の差は

展開してもできますが、平方の差の公式を使うほうが速い。

は整数だから、 は8の倍数です。

【検算】実際の数で確かめます。

2つの奇数	2乗の差	8で割ると
1, 3		1
3, 5		2
5, 7		3
7, 9		4

すべて8の倍数で、しかも と8ずつ増えています ○。

展開してから引くと 。同じ答えですが、公式を使うほうが計算量が少ないのが分かります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「因数分解しなさい」という問題が単元の中心だから

因数分解の単元では、因数分解そのものを実行する練習が中心になります。道具として使う問題は、単元の後半に「利用」として置かれます。

分量として大きいのは前半なので、「使う」練習の機会は構造的に少なくなります。

2. 使うべき場面が問題文に書かれていないから

「 を計算しなさい」——ここに「因数分解を使って」とは書かれていません。

自分で「これは平方の差だ」と気づく必要があります。ところが気づき方を明示的に教える場面は構成上生まれにくい。

気づき方は決まっています。2乗の引き算を見たら因数分解。数字でも文字でも同じです。

3. 「まともに計算しても答えは出る」から

は、筆算でも解けます。正解できてしまうので、工夫する必要が生じません。

差が出るのは時間とミス率です。筆算は時間がかかり、桁を間違えるリスクもある。その差は答案には現れません。

ただし数が大きくなると、工夫なしでは現実的でなくなります。たとえば は、因数分解すれば で一瞬です。「大きい数が出たら因数分解を疑う」と決めておくと確実です。

【検算】まともに計算して確かめる

因数分解を使った計算の検算はまともに計算することです。時間はかかりますが、確実です。

問題	因数分解で	まともに
		○
		○
		○
		○

証明の検算は、具体的な数を入れて成り立つかを見ます。ただしこれは確認であって証明ではありません。証明は文字での式変形のほうです。

もう1つ、桁数で見当をつける方法もあります。 は約9600なので、答えも9600前後のはず。大きく外れたら計算ミスです。

よくあるミス

ミス1：平方の差に気づかない

2乗の引き算を見たら因数分解。これを反射にしてください。

ミス2：和の形を分解しようとする

は因数分解できません。平方の差だけです。

ミス3：代入してから計算する

式の値の問題では先に因数分解します。代入は最後です。

ミス4： と を取り違える

。大きいほうから小さいほうを引くのが です。

答えが負になったら、順番を確認してください。

ミス5：証明で「整数だから」を書き忘れる

が8の倍数だと言うには、 が整数であることを明記します。

練習問題

1. を工夫して計算しなさい。
2. を工夫して計算しなさい。
3. を工夫して計算しなさい。
4. 、 のとき、 の値を求めなさい。
5. のとき、 の値を求めなさい。
6. 連続する2つの偶数の2乗の差は4の倍数になることを証明しなさい。

解答

1. 10400。検算：、 ○
2. 5200。検算： ○
3. 6400
4. 6。検算： ○
5. 10000。そのまま計算するより圧倒的に速い
6. 連続する2つの偶数を 、 とすると
   
   は整数だから4の倍数。検算：、 ○

まとめ

• 2乗の引き算を見たら因数分解。数字でも文字でも同じ
• 楽になるのは和か差がキリのよい数になるとき
• 同じ数が2回かけられていたら共通因数でくくる
• 式の値は代入する前に因数分解する
• 証明でも公式を使うほうが計算量が少ない
• 検算はまともに計算する／桁数で見当をつける
• 平方の和は分解できない。差だけ

「計算しやすい形に変えてから計算する」という発想は、高校でさらに重要になります。分数式の約分、極限での不定形の解消、積分の前の式変形——どれも「そのまま計算せず、まず形を整える」という同じ手順です。因数分解は、その最初の道具です。中3のここで「使う側」の練習をしておくと、その先の計算がずっと軽くなります。