因数定理で代入する値の見つけ方｜数II複素数と方程式

因数定理は「 なら で割り切れる」。定理そのものは簡単です。

問題は をどう見つけるか。当てずっぽうで代入していては時間が足りません。実は探す範囲は最初から決まっています。

結論：候補は「定数項の約数 ÷ 最高次係数の約数」

整数係数の多項式 が有理数の解 をもつとき（既約分数とする）

は定数項 の約数、 は最高次係数 の約数

最高次係数が1なら、定数項の約数だけを試せば済みます。しかも符号は両方。

試す順番

1. （係数の和が0か）
2. （交代に足し引きして0か）
3. 絶対値の小さい約数から順に

が最優先です。計算がほぼ暗算で済むからです。

剰余の定理と因数定理はセット

を1次式 で割ったときの商を 、余りを とすると

1次式で割った余りは定数です。ここに を代入すると

余り （剰余の定理）

とくに なら余りが0、つまり割り切れる。これが因数定理です。

2つは別の定理ではありません。同じ式から出ています。

と は暗算できる

で試します。

係数を全部足す

0になりました。したがって を因数にもちます。

符号を交互にして足す

0ではないので は因数ではありません。

【検算】実際に代入します。 ○

やってみる1：

候補を書き出す

最高次係数は1、定数項は 。候補は6の約数に をつけたもの。

試す

なので が因数。組立除法で割ります。

	1		11
1)		1		6
	1		6	0

商は 、余りは0。さらに因数分解して

【検算】展開して戻します。

一致 ○

【検算2】定数項を見ます。。もとの定数項と一致 ○

やってみる2：最高次係数が1でないとき

を因数分解せよ。

候補を書き出す

定数項2の約数は 。最高次係数2の約数は 。したがって候補は

分数も候補に入るのがポイントです。

試す

が因数です。組立除法で を使って割ると

	2			2
			5
	2		2	0

商は 。これをたすきがけで

したがって

【検算】展開します。

一致 ○

【検算2】 より 。これは候補に入っていた分数です ○　もし しか試さなければ見落としていました。

剰余の定理の応用：2次式で割った余り

を で割った余りを求めよ。

2次式で割った余りは1次以下なので と置けます。

と を代入すると、 の部分が消えます。

引くと 、よって 。余りは 。

【検算】実際に割り算します。 で割ると商は 。

一致 ○

【検算2】 を代入：余りの式は 、もとの ○　：、 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「候補は定数項の約数」の根拠が発展扱いになりやすいから

この事実（有理数解の候補が限られること）を証明するには整数の性質、とくに互いに素の議論が必要です。

そのため証明は発展的な内容として扱われることが多く、標準の流れでは「 などを代入してみる」という例示で進みます。範囲が確定していることが伝わらないと、当てずっぽうの作業になります。

2. 最高次係数が1でない場合の分数の候補が抜けやすいから

教科書の例題は最高次係数が1のものが中心です。そこでは整数だけ試せば足ります。

ところが最高次係数が2や3になると のような分数も候補になる。この拡張は例題の中で自然に出てくるとは限らないため、整数だけ試して「解けない」と判断することが起こります。

3. 組立除法が計算技法として扱われ、意味が説明されにくいから

組立除法は手順を覚えれば速い反面、なぜあの並べ方で商が出るのかは説明を要します。

限られた時間では手順の習得が優先されやすく、係数だけを取り出した割り算だという理解が後回しになる。手順を忘れると立て直せなくなります。

【検算】3つの方法

1. 展開して戻す

最も確実です。因数分解の答えは、必ず展開して確認できます。

【検算】 ○

2. 定数項と最高次の係数を照合する

因数の定数項どうしの積がもとの定数項、最高次の係数どうしの積がもとの最高次係数になります。

【検算】：定数項は ○、最高次は ○

3. 求めた解を代入して0か

【検算】： ○

よくあるミス

ミス1：候補に分数を入れ忘れる

最高次係数が1でなければ分数も候補です。

ミス2：符号の両方を試さない

の両方です。 を忘れがち。

ミス3： なのに で割る

で割ります。 なら 。

ミス4：組立除法で符号を間違える

で割るときは を使います。 なら 。

ミス5：商をさらに因数分解しない

2次以下になったら、たすきがけや解の公式で最後まで分解します。

ミス6：余りの次数を間違える

2次式で割った余りは1次以下（）。定数だけと決めつけない。

練習問題

1. の有理数解の候補をすべて書きなさい。
2. 1の式を因数分解しなさい。
3. の有理数解の候補をすべて書きなさい。
4. 3の式を因数分解しなさい。
5. について と を係数の和・交代和で求めなさい。
6. を で割った余りを求めなさい。
7. を因数分解しなさい。

解答

1. 定数項 の約数に 。
2. より が因数。。検算：定数項 ○
3. 定数項2の約数 最高次2の約数。
4. より が因数。。検算：展開して一致 ○
5. 、0
6. と置き 。。検算： で ○
7. より が因数。。検算：展開すると ○

まとめ

• 剰余の定理と因数定理は から出る同じもの
• 有理数解の候補は定数項の約数 ÷ 最高次係数の約数（ 両方）
• を最初に試す（係数の和・交代和で暗算できる）
• 最高次係数が1でなければ分数も候補
• 割った商は2次以下になったら最後まで分解
• 2次式で割った余りは1次以下と置いて代入する
• 検算は展開して戻す／定数項と最高次の照合／解を代入して0

因数定理は「割り算の余りを、代入1回で知る」という道具です。実際に割らずに答えが分かるから速い。この「計算せずに情報を得る」発想は、解と係数の関係とも、数IIIの極限とも同じ方向を向いています。候補が有限個に絞られていると知っているかどうか——差がつくのはそこだけです。