乗法公式が覚えられない・使い分けられない｜中3多項式

中3の乗法公式は4つ。並べて覚えようとすると、どの式にどれを当てるのか分からなくなる——因数分解の前段階でつまずく典型です。

4つを別々に覚える必要はありません。すべて分配法則から出てくるので、忘れてもその場で作り直せます。

結論：4つの公式と、選ぶ基準

公式	形	見分けるところ
①		先頭が同じ 、後ろが違う数
②		同じものの2乗（＋）
③		同じものの2乗（−）
④		符号だけが違う組

見るのはかっこの中の後ろの数（ と ）だけです。

• 同じ数で符号も同じ → ②か③（2乗の形）
• 同じ数で符号だけ違う → ④
• 違う数 → ①

②③④は、実は①の特別な場合です。次で確かめます。

すべて①から出てくる

まず①を分配法則で作ります。

やっているのは「1つずつ全部かける」だけです。

②は の場合

③は …ではなく、 を にした場合

最後の項は です。 がプラスになるので、ここは符号が変わりません。

④は の場合

真ん中の項が消えるのがポイントです。 だからです。

これで4つが1つの式の変形だと分かりました。①だけ覚えておけば、残りは代入で作れます。

【検算】具体的な数で4つとも確かめる

、、 を入れて、展開前と展開後が一致するか見ます。

公式	展開前	展開後	一致
①			○
②			○
③			○
④			○

すべて一致しました。公式が不安なときは、数を入れて確かめるのがいちばん確実です。5秒で済みます。

係数が1でないとき

のような形も、 をひとかたまりと見れば④がそのまま使えます。

【検算】 を入れると、展開前は 、展開後は 。一致します。

ここで であることに注意してください。 ではありません。

2乗のときも同じ

【検算】 で展開前 、展開後 。一致します。

3項以上のとき

のように項が増えても、分配法則に戻れば必ず処理できます。

2つをひとかたまりにする方法が速いです。 をAとおくと

【検算】 を入れると、展開前は 。
展開後は 。一致しました。

公式を使う本当の理由

「分配法則で全部かければいいのに、なぜ公式を覚えるのか」——理由は2つあります。

1. 計算が速い

を1つずつかけると4回の掛け算が必要ですが、公式なら「たして10、かけて21」で終わります。

2. 因数分解で逆向きに使う

こちらが本命です。 を見て に戻すには、公式の形を知っていないと不可能です。

展開は分配法則でできますが、因数分解は「形を知っている」ことが前提になります。だから公式を覚えるのです。

よくあるミス

ミス1： としてしまう

いちばん多いミスです。真ん中の が抜けています。

確認法： を入れる。 ですが、。合いません。この5秒の確認で防げます。

ミス2：③の最後の項を にする

最後はプラスです。 だからです。

確認法： で 。公式では ○。もし なら で合いません。

ミス3：④で真ん中が残ると思う

は真ん中が消えます。 だからです。

逆に、真ん中が残る形（ など）を見て④を使おうとしないこと。

練習問題

1. を展開しなさい。
2. を展開しなさい。
3. を展開しなさい。
4. を展開しなさい。
5. を展開しなさい。

解答

1. （たして7、かけて10）
2. （最後はプラス）
3. （真ん中は消える）
4. 。検算： で 、 ○
5. をひとかたまりと見て 。検算： で 、 ○

まとめ

• 4つの公式はすべて①の特別な場合。分配法則から作れる
• 選ぶ基準はかっこの中の後ろの数だけ（同じか／符号違いか／別の数か）
• の最後はプラス。 は真ん中が消える
• 係数が1でないときはひとかたまりと見る（）
• 不安なら具体的な数を入れて5秒で確認する
• 公式を覚える本当の理由は因数分解で逆向きに使うため

乗法公式は中3で終わりません。高校の因数分解、二次関数の平方完成、数IIの式と証明、微分の計算まで、式変形のたびに使い続けます。「①から作れる」と分かっていれば、複雑な形が出ても分配法則に戻って処理できます。