重複組合せの考え方（仕切り）がわからない｜数A場合の数

重複組合せは「○と仕切りを並べる」と習います。なぜそれで数えられるのかが分からないまま公式だけ覚えると、少し形が変わると手が出ません。

やっていることは1つです。数えたいものを、数えやすいものに翻訳している。翻訳が1対1なら、個数は同じです。

結論：買い方を「○と の並び」に翻訳する

3種類のジュースから5本買う。同じ種類を何本買ってもよく、買わない種類があってもよい。何通りか。

買い方を、次のように記号の列に書き換えます。

買い方	記号の列
1種目2本、2種目1本、3種目2本
1種目0本、2種目5本、3種目0本
1種目5本、2種目0本、3種目0本

○が5個、仕切り が2本。合わせて7個の並べ方を数えればよい。

21通りです。

なぜ翻訳してよいのか

この方法が正しいのは、買い方と記号の列が1対1で対応しているからです。2つのことを確かめます。

どの買い方にも、記号の列が1つ決まる

1種目の本数だけ○を書き、、2種目の本数だけ○、、3種目の本数だけ○。書き方は1通りしかありません。

どの記号の列からも、買い方が1つ決まる

仕切りで3つの区間に分け、各区間の○の個数を読むだけ。これも1通りです。

行きも帰りも1通り。だから個数が等しいと言えます。

【検算】小さい例で全部書き出します。3種類から2本買う場合。

記号の列	買い方
	(2, 0, 0)
	(1, 1, 0)
	(1, 0, 1)
	(0, 2, 0)
	(0, 1, 1)
	(0, 0, 2)

6通り。公式でも ○　もれも重複もありません。

公式の形

種類から 個選ぶとき、○が 個、仕切りが 本。合計 個の並べ方なので

仕切りは 本ではなく 本です。3つの区間を作るのに必要な仕切りは2本。ここを間違える人が多い。

種類	個数	○		式	値
3	5	5	2		21
3	2	2	2		6
4	3	3	3		20

【検算】 と は同じ値です。

一致 ○　○の位置を選んでも、仕切りの位置を選んでも同じです。

同じ問題の別の姿：方程式の非負整数解

を満たす0以上の整数 の組は何組か。

まったく同じ問題です。 が1種目の本数、 が2種目、 が3種目。

【検算】まったく別の方法で数えます。 を決めるごとに数えるやり方です。

を決めると 。この解は の 通り。

	0	1	2	3	4	5	合計
通り数	6	5	4	3	2	1	21

一致 ○　仕切りを使わなくても同じ答えになりました。

「各種類1本以上」の条件がついたら

3種類のジュースから5本買う。どの種類も1本以上買うとき何通りか。

先に1本ずつ配ってしまいます。3本使うので、残りは 本。

残り2本は条件なしで3種類に配るので

【検算】書き出します。 で全部1以上の組は

(1,1,3)、(1,3,1)、(3,1,1)、(1,2,2)、(2,1,2)、(2,2,1)

6組 ○

この「先に配ってから残りを分ける」は、条件つきの問題すべてに効きます。

重複順列との違い

	重複順列	重複組合せ
数えるもの	並べ方（順序あり）	個数の組（順序なし）
式
3種類・5本		21

「何本ずつ買ったか」だけを聞かれたら重複組合せ、「1本目、2本目…と順に決める」なら重複順列です。

問題文で見分けます。「買う」「配る（同じ品物を）」は組合せ、「並べる」「1個ずつ選ぶ」は順列。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「翻訳して数える」という手法が、この単元で初めて出るから

それまでの場合の数は直接数えるか重複した分で割るかでした。

ところがここではまったく別のもの（記号の列）に置き換えて数える。置き換えが1対1であることを確かめるという手順が新しく必要になりますが、これは結果の公式だけを示す構成では省かれやすい部分です。

2. 場合の数の単元の終盤に位置し、時間が残りにくいから

順列・組合せ・同じものを含む順列・円順列・組分けと続いた最後のほうに置かれます。

そのため配当時間が尽きかけたところで扱われやすく、丁寧な導入より公式の提示が優先されやすい位置にあります。

3. 記号 が結論だけ残りやすいから

という記号は結局 に書き換えて計算します。記号そのものに計算方法はありません。

そのため記号を覚えることが目的化しやすく、「なぜ なのか」「なぜ仕切りが 本なのか」が置き去りになりやすい。

○と仕切りを実際に紙に書く。この一手間で、記号を忘れても組み立て直せます。

【検算】3つの方法

1. 小さい場合を全部書き出す

問題	公式	書き出し
3種類から2個		6通り ○
3種類から5個・各1個以上		6組 ○

2. の値ごとに場合分けして足す

変数が3つなら1つを固定して残り2つを数えると、仕切りを使わずに検算できます。

【検算】 ○

3. 組合せの対称性で確かめる

○の位置を選んでも仕切りの位置を選んでも同じ、という意味です。計算しやすい方で計算できます。

【検算】、 ○

よくあるミス

ミス1：仕切りを 本にしてしまう

本です。3区間なら仕切り2本。

ミス2： と混同する

重複を許すなら。 より が大きくても計算できます。

ミス3：重複順列 を使ってしまう

順序を区別するかどうかで決まります。「何個ずつ」なら組合せです。

ミス4：「1個以上」の条件を後から処理しようとする

先に1個ずつ配ってから残りを自由に配ります。

ミス5：区間に0個が入ることを忘れる

のように仕切りが隣り合ってもよいのが重複組合せです。

練習問題

1. 3種類のジュースから5本買う方法は何通りか。
2. を満たす0以上の整数の組は何組か。
3. 4種類のあめから3個選ぶ方法は何通りか。
4. 3種類のジュースから5本買う。どの種類も1本以上のとき何通りか。
5. 同じ玉5個を3人に配る方法は何通りか（0個の人がいてもよい）。
6. で を満たす整数の組は何組か。
7. 3種類のジュースを5本、1本目から順に選ぶ選び方は何通りか。

解答

1. ○5個・仕切り2本で 21
2. 1と同じ問題なので21。検算： ○
3. ○3個・仕切り3本で 20
4. 先に1本ずつ配って残り2本。6
5. 1と同じ問題（人が3種類の行き先）なので21
6. とおくと で全部0以上。15。検算： ○
7. 順序があるので重複順列。243

まとめ

• 重複組合せは○と仕切りの並べ方に翻訳して数える
• 正しい理由は買い方と記号の列が1対1だから
• 種類から 個なら○が 個、仕切りが 本
• 方程式の非負整数解の個数と同じ問題
• 「1個以上」は先に配ってから残りを自由に
• 検算は小さい例の書き出し／1変数を固定して足す／組合せの対称性

「数えたいものを、数えられるものに翻訳する」という発想は、数Aの整数の性質や数Bの数列でも繰り返し出てきます。翻訳が1対1かどうかを毎回確かめる——これが身につくと、初めて見る設定でも自分で数え方を作れるようになります。○と は、その最初の練習台です。