順列と組合せの区別がつかない｜数A場合の数

と 。公式は書けるのに、問題文を読んでどちらを使うか判断できない——場合の数でいちばん多いつまずきです。

判断基準はたった一つの問いで決まります。それを覚えてしまえば、問題文を読んだ瞬間に選べます。

結論：「順番を入れ替えたら別物になるか」だけを問う

問い	答え	使う道具
選んだものの順番を入れ替えたら、別の場合になるか？	なる（区別する）	順列
	ならない（同じ扱い）	組合せ

具体的には次のように現れます。

• 順列になる例：並べる／席に着く／役職を割り当てる／1位2位を決める／番号を作る
• 組合せになる例：選ぶだけ／チームを作る／代表を選ぶ／委員を決める／線分や三角形を作る

「A→B」と「B→A」を別々に数えるなら順列、同じとみなすなら組合せです。

なぜ組合せは順列を割るのか

公式の関係を見てください。

この が「並べ替えの重複を打ち消す」ぶんです。

A・B・Cの3人から2人を選ぶ場合で確かめます。

順列（並べる）： 通り。

AB、BA、AC、CA、BC、CB の6つです。

組合せ（選ぶだけ）： 通り。

{A,B}、{A,C}、{B,C} の3つ。順列の6通りを見ると、ABとBA、ACとCA、BCとCBが2つずつペアになっています。この で割ったわけです。

【検算】実際に書き出すと、順列6・組合せ3。 で一致します。

3つ選ぶなら、ABC・ACB・BAC・BCA・CAB・CBA の 通りが1つの組にまとまるので、 で割ります。「選んだ 個の並べ替えが 通りあるから で割る」——これが公式の意味です。

判断できる問題文の例

順列になる問題

「5人から3人を選んで、部長・副部長・書記にする」

同じ3人でも、誰が部長かで別の場合です。役職＝順番の区別があります。

「1〜5の数字から3個選んで3桁の整数を作る（同じ数字は使わない）」

123と321は別の数です。位＝順番があります。

組合せになる問題

「5人から3人の代表を選ぶ」

誰と誰と誰か、だけが問題です。選ばれた3人に区別はありません。

「円周上の5点から3点を選んで三角形を作る」

三角形は3頂点の集合で決まります。頂点を選ぶ順番は関係ありません。

【検算】小さい数で全部書き出して確かめる

公式が正しいかは、数が小さいうちに全列挙して確かめるのがいちばん確実です。

4人（A,B,C,D）から2人を選ぶ場合を数えます。

	公式	全列挙	中身
順列		12個	AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC
組合せ		6個	AB,AC,AD,BC,BD,CD

一致しました。試験中に不安になったら、要素を3〜4個に減らして書き出してみると、どちらを使うべきかが確実に判定できます。

組合せの便利な性質

性質1：

「10人から7人選ぶ」は「10人から選ばない3人を決める」のと同じです。

計算が軽いほうを選べます。 をそのまま計算するより圧倒的に速いです。

【検算】。一致しました。

性質2：

「1つも選ばない」も「全部選ぶ」も1通りです。0を含む計算で混乱しないよう覚えておきます。

よくあるミス

ミス1：「選ぶ」という言葉だけで組合せと決めつける

「5人から3人を選んで1列に並べる」は、選んだあとに並べるので順列です。文末まで読んでから判断してください。

この場合は と、どちらの道筋でも同じ答えになります。

【検算】。確かに一致します。

ミス2：区別のない同じものを区別して数える

「赤玉3個、白玉2個を並べる」のように同じものが含まれる場合は、単純な順列ではありません。

同じ色どうしの並べ替え（ と ）は区別できないので割ります。組合せの発想と同じ「重複を割る」処理です。

【検算】これは「5か所のうち赤を置く3か所を選ぶ」と同じなので 。一致します。

ミス3：階乗の計算を最後までやってしまう

を と書いて を計算し始めると手が止まります。約分してから計算します。

分子は上から 個だけ、分母は 。これで十分です。

練習問題

1. 8人から3人の委員を選ぶ方法は何通りか。
2. 8人から3人を選んで、委員長・副委員長・書記にする方法は何通りか。
3. 正八角形の頂点から3点を選んで三角形を作る方法は何通りか。
4. 1,2,3,4,5から異なる4個を選んで並べ、4桁の整数を作る方法は何通りか。
5. a,a,a,b,b の5文字を1列に並べる方法は何通りか。

解答

1. 選ぶだけなので組合せ。 通り
2. 役職の区別があるので順列。 通り。検算：
3. 三角形は頂点の集合で決まるので組合せ。 通り
4. 位の区別があるので順列。 通り
5. 同じものを含む順列。 通り。検算： と一致

まとめ

• 判断基準はひとつ。順番を入れ替えたら別物か
• 並べる・役職・位・順位 → 順列。選ぶだけ・チーム・三角形 → 組合せ
• の は並べ替えの重複を打ち消す量
• 迷ったら要素を3〜4個に減らして全部書き出す。必ず判定できる
• で計算を軽くする
• 階乗を展開せず、分子は上から 個だけで計算する

場合の数は確率の土台です。ここで「区別するかどうか」の判断が曖昧なままだと、確率の分母と分子で扱いがずれて答えが合わなくなります。逆にこの1つの基準が入っていれば、反復試行も条件付き確率も同じ発想で処理できるようになります。