加法定理が覚えられない・導けない｜数II三角関数

「咲いたコスモス、コスモス咲いた」——加法定理の語呂合わせです。覚えてはいても、符号がどちらだったか本番で不安になるのが定番のつまずきです。

加法定理は導けます。しかも使う道具は中学で習った三平方の定理と、余弦定理だけ。一度自分の手で出しておけば、符号を忘れてもその場で作り直せます。

結論：4つの式と、覚え方より確実な確認法

符号のポイントはひとつ。cosだけ符号が逆になります。sinは足すときに＋、cosは足すときに−。

そして不安なときの確認法があります。具体的な角を入れて、既知の値と合うか見るだけです。

たとえば を入れると 。確かに です。符号を逆に覚えていたら となって区別がつかないので、この確認では足りません。

（45°）で試します。

公式に入れると 。一致します。

もし符号を＋で覚えていたら となり、その場で誤りに気づけます。この確認を5秒でやる習慣を付けるのが、語呂合わせより確実です。

導出：余弦定理から を出す

まず を導きます。他の3つはここから機械的に出ます。

準備：単位円上に2点をとる

原点を中心とする半径1の円（単位円）の上に、次の2点をとります。

この2点の距離 を、2通りの方法で計算します。

方法1：座標から（三平方の定理）

展開します。

ここで を2回使うと

方法2：余弦定理から

三角形 で、、その間の角は です。余弦定理より

2つを比べる

同じ なので等しいはずです。

両辺から2を引いて で割ると

出ました。使ったのは「2点間の距離」「」「余弦定理」だけです。

残り3つを機械的に出す

いま出した式の を に置き換えます。、 を使うと

符号が反転する理由がここにあります。 が奇関数だから、というだけのことです。

を使います。

ここに の公式を当てはめると

同じく で

【検算】具体的な角で4つすべてを確かめる

（60°）、（30°）で確認します。既知の値は 、、、。

式	公式で計算	直接の値

4つとも一致しました。符号を間違えていれば必ずどこかが合わなくなります。

加法定理から何が出てくるか

加法定理は「覚えて終わり」の公式ではなく、三角関数の他の公式すべての親です。

2倍角の公式

と置くだけです。

【検算】 のとき 。一致します。

半角の公式

を について解けば出ます。

三角関数の合成

を1つの にまとめる操作も、加法定理を逆向きに使っているだけです。

【検算】 なら で 。
を入れると左辺 、右辺 。一致します。

よくあるミス

ミス1：cosの符号を反転させ忘れる

いちばん多いミスです。cosは「足すときにマイナス」。sinと逆だと覚えます。

迷ったら を入れてください。 になるほうが正解です。

ミス2： としてしまう

三角関数は分配できません。 で確かめると、左辺 、右辺 。まったく違います。

ミス3：tanの加法定理の分母を忘れる

これは を で割って作れます。分母の を落とすと大きく外れます。

【検算】 なら なので 。確かに です。

練習問題

1. を として求めなさい。
2. を として求めなさい。
3. 、（どちらも第1象限）のとき を求めなさい。
4. の公式を、 から導きなさい。

解答

2. 。 と同じ値（ なので当然）
3. 、。よって
4. を に置き換え、、 を代入する

まとめ

• 加法定理は単位円上の2点間の距離を2通りで計算するだけで導ける
• 使う道具は三平方の定理・・余弦定理の3つのみ
• cosだけ符号が逆。理由は （奇関数）だから
• 不安なら を代入して になるか確認する
• 2倍角・半角・合成はすべて加法定理から出る。個別に覚える必要はない

加法定理を「導ける公式」にしておくと、三角関数の単元全体が1本の幹から枝分かれした構造に見えてきます。数IIIの微分（ の証明）でも加法定理が土台になります。語呂合わせで暗記するより、導出を1回追うほうが結局は速く、確実です。