解と係数の関係をどこで使うのか｜数II複素数と方程式

解と係数の関係は覚えやすい。問題は「どこで使うのか」です。解の公式で解けるのだから、わざわざ使わなくてもよさそうに見える。

使いどころは3つあります。①解が汚いとき ②方程式を作るとき ③3次以上のとき。とくに③は、解と係数の関係なしでは手が出ません。

結論：解を求めずに済ませる道具

2次方程式 の2解を とすると

3次方程式 の3解を とすると

符号が と交代するのがポイント。覚えるより、次の導出を1回やるほうが確実です。

なぜ成り立つのか：展開して比べるだけ

が解なら、因数分解できます。

右辺を展開すると

係数を比べて

両辺を で割れば、そのまま公式になります。

3次も同じ

右辺のかっこを展開すると

符号が交代する理由が見えます。 だから、最後にマイナスがつく。

【検算】 で確かめます。

公式では 、、。係数と一致 ○

使いどころ1：解が汚いとき

の2解を とするとき と を求めよ。

解の公式で求めると 。これを2乗して足すのは現実的ではありません。

解と係数の関係を使います。

【検算】実際の解で確かめます。。

一致 ○　 も計算すると になります。

使いどころ2：方程式を作る

3 と を解とする2次方程式を1つ作れ。

和と積を出すだけです。

2解の和が 、積が なので

【検算】因数分解します。

解は 3 と ○

応用：解を変換した方程式を作る

の2解を とするとき、 を解とする2次方程式を作れ。

、 なので

したがって求める方程式は

【検算】もとの解は より 2 と 3。2乗すると 4 と 9。

○　また で確かに解は 4 と 9 ○

解を求めずに、変換後の方程式が作れる——これが2つ目の使いどころです。

使いどころ3：3次方程式

の3解を とするとき を求めよ。

2乗の和は展開の公式から出ます。

【検算】この方程式の解は 1、2、3 です（因数分解できます）。

一致 ○

3次方程式は解の公式が実用的ではありません。因数分解できない場合、解と係数の関係が唯一の手がかりになります。

虚数解でも成り立つ

の2解を とするとき を求めよ。

判別式は なので解は虚数です。それでも関係は成り立ちます。

【検算】解は 。2乗して足すと

一致 ○　2乗の和が負になるのは、実数では起こらないことです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 解を求めてから代入しても、多くの例題は解けてしまうから

導入の例題では解がきれいな整数であることが多く、普通に解いて代入したほうが速い場合すらあります。

そのため「なぜこの道具が必要なのか」が伝わりにくい。本当に効くのは解が無理数や虚数のときですが、そういう問題は後の演習に置かれやすい構成です。

2. 3次の符号が交代する理由が、導出を省くと見えないから

3次の関係は符号が と入れ替わります。結果だけ示されると、覚えにくく間違えやすい。

ところが を展開すれば理由は一目瞭然です。この展開は手間がかかるため結果の提示で済まされやすいですが、1回やるだけで以後迷わなくなります。

3. 複素数の範囲で成り立つことが、実数解の例題では見えないから

解と係数の関係は解が虚数でも成り立ちます。むしろ数IIの「複素数と方程式」で扱われるのは、その拡張が主題だからです。

しかし導入は実数解の例から始まるため、「虚数でも同じ」という要点が印象に残りにくい。判別式が負でも計算を進めてよい、という判断ができるかどうかで差がつきます。

【検算】3つの方法

1. 実際に解を求めて代入する

解がきれいならこれが最も確実です。

【検算】 の解は 2、3。 ○

2. 作った方程式を因数分解して戻す

方程式を作る問題では、因数分解して解が一致するかを見ます。

【検算】 ○、 ○

3. 係数と和・積の対応を1つずつ確認する

符号を落としていないかを確かめます。とくに3次。

【検算】：和 ○、2つずつの積の和 ○、3つの積 ○

よくあるミス

ミス1： と符号を落とす

マイナスがつきます。。

ミス2： でない場合に割り忘れる

なら和は です。3ではありません。

ミス3：3次で符号の交代を間違える

の順です。展開を思い出せば確実。

ミス4：判別式が負だからと計算をやめる

虚数解でも成り立ちます。そのまま進めてよい。

ミス5：方程式を作るとき符号を逆にする

和が 、積が なら です。

ミス6：解が2つあることを前提にしすぎる

重解のときは同じ解を2個と数えます。関係はそのまま成り立ちます。

練習問題

1. の2解を とするとき を求めなさい。
2. の2解について を求めなさい。
3. 3 と を解とする2次方程式を1つ作りなさい。
4. の2解の2乗を解とする2次方程式を作りなさい。
5. の3解の和と積を求めなさい。
6. 5の方程式について を求めなさい。
7. の2解について を求めなさい。

解答

1. 。13。検算：解は2と3で ○
2. 。
3. 和 、積 より。検算： ○
4. 和 、積 より。検算： ○
5. 和 6、積 6。検算：解は1,2,3で 、 ○
6. 14。検算： ○
7. 。検算：虚数解を直接2乗して足しても ○

まとめ

• 根拠は を展開して係数を比べるだけ
• 2次：
• 3次：符号が と交代する
• 使いどころは①解が汚いとき ②方程式を作るとき ③3次以上
• 虚数解でも成り立つ（判別式が負でも進めてよい）
• 和 、積 の方程式は
• 検算は解を求めて代入／因数分解して戻す／符号の対応確認

「解そのものを求めずに、解についての情報を得る」——この発想は数学の中で何度も現れます。数IIIの方程式の解の個数、大学の行列の固有値（和がトレース、積が行列式）まで、同じ構造がそのまま続いていく。解と係数の関係は、その最初の入口です。