階差数列でn≧2に注意する理由｜数B数列

階差数列の公式には「ただし 」がついています。多くの場合、 でも成り立つので形式的な注意に見える。

ところが本当に成り立たない場合があります。そのとき何が起きるかを知っておくと、この注意の意味が分かります。

結論： が で意味を失うから

階差数列 を使うと

を入れると、和の上端が0になります。

　←　1から0まで足す？

足す項がありません。だから で導き、 は別に確認する——これが公式についている条件の理由です。

なぜ上端が なのか

から までに使う階差は

矢印の本数と同じで 個です。すべて足すと途中が消えて

移項すれば公式になります。ここでも「間の数」を数えているのです。

やってみる1：

階差を作る

階差は で等差数列。 です。

一般項

の確認

初項1と一致しました ○　したがって で成り立ちます。

【検算】すべての項で確かめます。

	1	2	3	4	5
	1	3	7	13	21

もとの数列と一致 ○

【検算2】階差を作り直します。 を計算すると

に戻りました ○

やってみる2：階差が等比数列

の一般項を求めよ。

階差は で等比数列。。

（）

の確認

初項1と一致 ○　 で成立です。

【検算】 で ○、 で ○

本当に注意が必要なのはこちら

階差数列では、たいてい でも成り立ちます。成り立たないことが実際にあるのは、和 から を求めるときです。

（）、

は定義されていないので、 が必要です。

成り立つ例

のとき を求めよ。

を確認します。、公式では 。一致 ○

したがって（）。

【検算】。 ○

成り立たない例

のとき を求めよ。

差をとると定数の1は消えるので、 では先ほどと同じ。

ところが では

公式では 。一致しません。

したがって答えは場合分けになります。

、（）

【検算】足して に戻るか確かめます。 のとき

一致 ○　 では 、 ○

もし としてしまうと、 となり、与えられた と食い違います。これが確認を怠った結果です。

なぜ食い違うのか

は でしか使えない式。それを に当てはめると、存在しない を勝手に0とみなしたことになります。

この例では を0とみなすと のはず。ところが式 は に対応する形になっている——定数項の1がずれの正体です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 成り立つ例ばかりだと、確認が形式に見えるから

階差数列の例題ではほぼ必ず でも成り立ちます。だから「確認しました、成り立ちます」で終わる。

そのため「なぜ確認するのか」が実感できないまま、儀式のように書くことになります。成り立たない例を1つ見る——それだけで意味が変わります。

2. 成り立たない例が標準演習に出にくいから

に定数項があると で食い違います。ところが教科書の例題は定数項がない形が中心。

この差は問題の作り方の差であって、内容の難しさではありません。しかし出会わなければ気づけないため、入試で初めて引っかかることになります。

3. 「上端が 」の意味が説明されにくいから

階差を 個使うのは矢印の本数だからです。等差数列の とまったく同じ理由。

ところが公式として提示されると、 が単なる記号に見えます。 と書いてみれば、途中が消えて両端だけ残ることが見て取れます。

【検算】3つの方法

1. を代入する

もとの数列に戻るか確かめます。とくに 。

【検算】： ○

2. 階差を作り直す

がもとの になるか見ます。

【検算】 ○

3. 和に戻して と一致するか

の問題では を計算して確かめます。

【検算】 ○

よくあるミス

ミス1： の確認を書かない

公式は でしか導けていません。確認して初めて と言えます。

ミス2：一致しないのに1つの式で答える

場合分けが必要です。 を別に書きます。

ミス3：Σ の上端を にする

です。階差は 個しか使いません。

ミス4： を使ってしまう

定義されていません。 から出します。

ミス5：階差数列の種類を確かめない

等差か等比かで和の公式が変わります。

ミス6： の一般項を1つずらす

です。 ではありません。

練習問題

1. の一般項を求めなさい。
2. 1の答えが でも成り立つことを確かめなさい。
3. の一般項を階差数列から求めなさい。
4. のとき を求めなさい。
5. のとき を求めなさい。
6. 5で が成り立たない理由を説明しなさい。
7. 階差数列の公式で、Σ の上端が である理由を説明しなさい。

解答

1. より （）
2. で 。初項と一致するので で成立 ○
3. より 。検算： で1 ○
4. （）。検算： ○
5. 、（）。検算： ○
6. は の式で、 は定義されない。 の定数項1がずれを生む
7. 使う階差は から までの 個（矢印の本数）だから

まとめ

• （）
• なのは だと和の項がなくなるから
• 上端が なのは階差を 個使うから
• 求めたら を必ず確認する
• から を出すときは本当に食い違うことがある
• 食い違ったら場合分けして答える
• 検算は の代入／階差を作り直す／和に戻す

「導いた式が、導いた範囲でしか保証されない」——これは数学の基本的な作法です。 で導いたなら、 は別の話。この感覚は、場合分けや定義域の議論と同じもの。1行の確認が、答案の正しさを支えています。