回転体の体積の立式ができない｜数III積分法

回転体の体積で立式できない原因は、たいてい「どう切るか」が決まっていないことです。

回転軸に垂直に切る。断面は必ず円になる。

これが決まれば、あとは円の面積を足すだけです。

結論：薄い円板を足す

回転軸	切る向き	体積
軸	一定で切る
軸	一定で切る

なぜ なのか

軸に垂直に切ると、断面は半径 の円です。面積は

厚さを とすると、薄い円板の体積は 。これを足し上げるのが積分です。

手順は4つ

1. 回転軸を確認する
2. 軸に垂直に切る
3. 断面の円の半径を、軸からの距離で書く
4. を積分する

やってみる1：円錐になる場合

（）と 軸で囲まれた部分を 軸のまわりに回転させた体積を求めよ。

断面の半径は なので

【検算1】これは底面の半径1、高さ1の円錐です。公式では

一致 ○

【検算2】大きさの見当。外接する円柱（半径1、高さ1）の体積は 。円錐はその 。 ○

やってみる2：

（）と 軸で囲まれた部分を 軸のまわりに回転させよ。

なので

約25.13です。

【検算1】数値積分でも約25.13 ○

【検算2】大きさの見当。外接する円柱は半径 、高さ4なので体積 。

○　ちょうど半分になっています。

やってみる3：球の体積を導く

半円 （）を 軸のまわりに回転させよ。

なので

のとき 。 のときは符号が逆なので

球の体積の公式が出てきました。

【検算1】 なら 。数値積分でも約4.189 ○

【検算2】半径1の球に外接する円柱（半径1、高さ2）の体積は 。

○　比は です。

やってみる4：2曲線にはさまれた部分

と （）で囲まれた部分を 軸のまわりに回転させよ。

断面はドーナツ状（円から円をくり抜いた形）になります。

この区間では なので、外側が 、内側が 。

約0.4189です。

よくある誤り： としてしまう

もし とすると

とは違います（4倍の差）○

面積は引けますが、2乗してから引く——ドーナツの面積が だからです。

【検算】 ○　数値積分でも約0.4189 ○

軸のまわりなら を で表す

、、 軸で囲まれた部分を 軸のまわりに回転させよ。

断面の半径は 軸からの距離、つまり 。 なので

【検算1】数値積分でも約25.13 ○

【検算2】外接する円柱は半径2、高さ4で 。 ○

軸まわりでは を の式に直す——これを忘れると積分できません。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「軸に垂直に切る」が図なしでは伝わりにくいから

体積の立式は断面のイメージがすべてです。

ところが図は教科書に載っていても、自分で描く場面が少ない。薄い円板を1枚描くだけで、半径が だと分かります。この一手間が省かれやすい。

2. ワッシャー型の誤りが自分では気づきにくいから

と はどちらもそれらしく見えます。

ところがドーナツの面積は 。断面の面積から考えれば明らかですが、「面積の差」を先に取ってしまう誤りが起こります。断面の絵を描けば防げます。

3. 軸まわりの変換が手間だから

軸まわりでは を の式に直す必要があります。

ところが例題は 軸まわりが中心。 軸まわりは応用として後に置かれやすいため、変換の必要性に気づかず、そのまま で積分してしまうことが起こります。

【検算】3つの方法

1. 既知の立体と比べる

円錐・球・円柱になる場合は公式で確かめられます。

【検算】 の回転：、円錐の公式でも ○

2. 数値積分と比べる

【検算】、数値積分でも約25.13 ○

3. 外接する円柱より小さいか

回転体は必ず外接円柱の内側にあります。

【検算】球 と円柱 ○

よくあるミス

ミス1： を2乗し忘れる

断面は円なので です。

ミス2： を忘れる

円の面積なので必要です。

ミス3： とする

です。ドーナツの面積。

ミス4： 軸まわりで のまま積分する

の式に直します。積分変数も 。

ミス5：積分区間を軸の値でとらない

軸まわりなら の範囲です。

ミス6：外側と内側を取り違える

軸から遠いほうが外側。区間内で入れ替わることもあります。

練習問題

1. （）を 軸のまわりに回転させた体積を求めなさい。
2. 1を円錐の公式と比べなさい。
3. （）を 軸のまわりに回転させた体積を求めなさい。
4. を 軸のまわりに回転させ、球の体積を導きなさい。
5. と （）で囲まれた部分を 軸のまわりに回転させなさい。
6. 5で としたときの値を求め、正しい答えと比べなさい。
7. 、、 軸で囲まれた部分を 軸のまわりに回転させなさい。

解答

2. ○
3. （約25.13）
5. （約0.4189）
6. となり、正しい の4分の1。誤り

まとめ

• 回転軸に垂直に切る。断面は必ず円
• 軸まわりは、 軸まわりは
• 軸まわりでは を の式に直す
• はさまれた部分は（ ではない）
• 検算は既知の立体／数値積分／外接円柱より小さいか

回転体の体積は「薄く切って、足す」という積分の本質そのものです。切り方さえ決まれば、あとは断面積を書くだけ。断面を1枚描く——それが立式の第一歩であり、ほとんどすべてです。