回転体はどんな立体になるか｜中1空間図形

「この図形を回すとどんな立体になるか」——想像しにくいときは、1つの事実に戻ってください。

回転軸に垂直に切った断面は、必ず円（またはドーナツ形）になる

あとは「軸からいちばん遠いところまでの距離」が半径。それだけで立体が決まります。

基本の3パターン

回す図形	できる立体
長方形（辺が軸）	円柱
直角三角形（直角をはさむ辺が軸）	円錐
半円（直径が軸）	球

やってみる1：長方形を回す

たて3cm、よこ4cmの長方形を、よこの辺を軸として1回転させたときの体積を求めなさい。

よこの辺が軸なので、軸からの距離＝たての3cmが半径。軸の長さ4cmが高さです。

立方センチメートルです。

軸を変えると別の立体になる

同じ長方形を、たての辺を軸として回転させるとどうなりますか。

今度は半径4、高さ3の円柱です。

同じ長方形なのに体積が違います。

【検算1】2つの比を計算します。

半径の大きいほうが体積も大きい ○　半径は2乗で効くので、こちらが有利です。

【検算2】表面積も出しておきます。半径3・高さ4の円柱なら

底面2つ＋側面 ○

やってみる2：直角三角形を回す

底辺3cm、高さ4cmの直角三角形を、高さの辺（4cm）を軸として回転させなさい。

円錐ができます。半径は底辺の3cm、高さは4cm。

もう一方の辺を軸にすると

半径4、高さ3の円錐になります。

【検算1】比を確かめます。

長方形のときと同じ比になりました ○　どちらも「半径の2乗×高さ」の形だからです。

【検算2】円錐は同じ底面・同じ高さの円柱の です。

一致 ○

やってみる3：軸から離すと穴があく

たて2cm、よこ3cmの長方形を、よこの辺から1cm離れた平行な直線を軸として回転させなさい。

軸から遠いほうの辺までが3cm、近いほうの辺までが1cm。

できるのは中が空いた円柱（筒）です。

【検算1】大きい円柱から小さい円柱を引いても同じです。

○

【検算2】軸に垂直に切るとドーナツ形。外半径3、内半径1です ○

図形が軸に接していなければ、穴があく

やってみる4：半円を回すと球

半径3cmの半円を、直径を軸として回転させなさい。

半径3の球ができます。

【検算】球は、それを囲む円柱（半径3・高さ6）の になります。

一致 ○

迷ったときの手順

1. 軸に垂直な線を何本か引く
2. それぞれで軸からの距離の最大と最小を測る
3. 最大が外側の半径、最小（0でなければ）が内側の半径
4. その円を積み重ねた形が答え

断面を1つずつ考えれば、複雑な形でも必ず分かります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 空間の想像力に頼りがちだから

「回すとどうなるか」は頭の中で見えるかどうかの勝負に見えます。見えない人はそこで止まってしまう。

ところが断面を1つずつ調べるという手順を踏めば、想像力に頼らずに答えが出ます。この手順が示されにくいのです。

2. 軸の位置で答えが変わることを確認しにくいから

同じ長方形でも、どの辺を軸にするかで体積が変わります。

教科書では1つの例を扱うことが多く、2通り計算して比べる場面が作られにくい。だから「軸を確認する」習慣がつきにくいのです。

3. 中が空く場合が発展扱いだから

図形が軸に接していないと穴があきます。これは断面がドーナツ形になるからです。

基本の3パターンより一段難しいため後回しにされやすいのですが、入試ではよく問われます。

【検算】3つの方法

1. 断面が円になっているか確かめる

軸に垂直に切ります。円かドーナツ形にならなければ、考え方が違います。

【検算】筒の断面は外半径3・内半径1のドーナツ形 ○

2. 別の求め方で計算し直す

【検算】筒は「差で求める」でも「大きいのから引く」でも ○

3. 大きさの見当をつける

円錐は円柱の 、球は囲む円柱の 。

【検算】 ○、 ○

よくあるミス

ミス1：半径と高さを取り違える

軸に垂直な向きが半径です。

ミス2：軸を確認せずに計算する

どの辺が軸かで答えが変わります。

ミス3：穴を忘れる

軸に接していなければ中が空きます。

ミス4：円錐で を忘れる

底面×高さ÷3です。

ミス5：半円を回して半球と思う

1回転すれば球です。

ミス6：π を数値に直して誤差を出す

π のまま答えるほうが安全です。

練習問題

1. たて3・よこ4の長方形を、よこの辺を軸に回した体積を求めなさい。
2. 同じ長方形をたての辺を軸に回した体積を求めなさい。
3. 1と2の比を求めなさい。
4. 底辺3・高さ4の直角三角形を、高さの辺を軸に回した体積を求めなさい。
5. 4が1の何倍か答えなさい。
6. たて2・よこ3の長方形を、辺から1離れた軸で回した体積を求めなさい。
7. 半径3の半円を直径で回した体積を求めなさい。

解答

3. 3:4
5. 倍

まとめ

• 回転体は軸に垂直な断面が円
• 半径は軸からいちばん遠い距離
• 長方形→円柱、直角三角形→円錐、半円→球
• 軸が変われば体積も変わる
• 軸に接していなければ中が空く
• 検算は断面の形／別の求め方／ や の関係

回転体は「想像する問題」ではなく「断面を調べる問題」です。手順に落とせば、空間が苦手でも確実に解けます。この「断面で考える」発想は、数IIIの回転体の体積でもそのまま使います。