樹形図と表のどちらを使えばいいか迷う｜中2確率

確率の問題で「全部で何通りか」を数えるとき、樹形図と表のどちらを使うか迷う。しかも数え漏らしが怖くて、書き始められない——中2の確率で最初に詰まるところです。

使い分けの基準は1つだけです。「操作が2回か、それ以外か」。これで決まります。

結論：2回なら表、3回以上なら樹形図

状況	道具	理由
操作が2回（さいころ2個、コイン2枚）	表	縦横2方向で全部並べられる
操作が3回以上（コイン3枚、くじを3回）	樹形図	表は2次元までしか書けない
選ぶだけ（4人から2人選ぶ）	樹形図	重複を消しやすい

表は2次元の紙に収まる範囲でしか使えません。3回以上の操作は、原理的に表では書けない。だから樹形図になります。

表が向く場面：さいころ2個

大小2つのさいころを投げるとき、出た目の和が7になる確率を求めなさい。

大のさいころを縦、小を横にした6×6の表を作ります。マスは 個。これが全部の場合の数です。

和が7になるマスを数えます。

大	1	2	3	4	5	6
小	6	5	4	3	2	1

6通りです。したがって確率は

【検算】和ごとの通り数を全部数えて、合計が36になるか確かめます。

和	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
通り	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

合計は 。一致しました。

7が最も多いことも表から見えます。左右対称になっているのも確認できます。

「大小」がなくても区別する

ここが最大の落とし穴です。「2つのさいころ」と書かれていて大小の区別がなくても、区別して数えます。

理由は同じ確からしさを保つためです。区別しないと と が1通りになりますが、実際にはこの2つは別々に起こりうるので、他の場合の2倍起こりやすくなってしまいます。

【検算】区別しない数え方だと、全部で21通りになります。しかし のようなゾロ目は1通りぶんしか起こらないのに、 は2通りぶん起こる。1つ1つの起こりやすさが違うので、確率の計算に使えません。

迷ったら必ず区別する。これが確率の原則です。

樹形図が向く場面：コイン3枚

3枚のコインを投げるとき、表が2枚出る確率を求めなさい。

3回の操作なので樹形図です。1枚目で2本、2枚目でそれぞれ2本、3枚目でまた2本に分かれます。

全部で 通り。書き出すと

表表表・表表裏・表裏表・表裏裏・裏表表・裏表裏・裏裏表・裏裏裏

表が2枚なのは表表裏・表裏表・裏表表の3通り。

【検算】表の枚数ごとに数えます。

表の枚数	0	1	2	3
通り	1	3	3	1

合計は ○。左右対称になっているのも自然です（表と裏を入れ替えても同じ構造だから）。

樹形図が向く場面：選ぶ問題

A、B、C、Dの4人から2人を選ぶとき、全部で何通りあるか。

「選ぶ」問題では順番が関係ありません。AとBを選ぶのと、BとAを選ぶのは同じことです。

樹形図で書き出すとき、アルファベット順に並べると重複を防げます。

• Aから … AB、AC、AD
• Bから … BC、BD（BAはABと同じなので書かない）
• Cから … CD

合計6通りです。

【検算】順番を区別して数えると 通り。2人の並べ方は2通りなので、。一致しました。

「順番あり」と「順番なし」で答えが変わる——これが確率で最も間違えやすい区別です。

順番が関係するかの見分け方

問題文	順番	例
「選ぶ」「組を作る」	関係なし	4人から2人選ぶ
「並べる」「順に取り出す」	関係あり	4人を1列に並べる
「委員長と副委員長」	関係あり	役職が違うから
「代表2人」	関係なし	役職の区別がないから

役割に違いがあるかどうかで判断してください。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「同じ確からしさ」の意味が伝わりにくいから

確率の定義は「同様に確からしい場合の数」に基づいています。ところがこの「同様に確からしい」という言葉は抽象的で、具体的に何を意味するかが見えにくい。

実際に効いてくるのは「2つのさいころを区別するか」という場面ですが、そこで初めて意味が分かるという順序になっています。定義を習う時点では、なぜその条件が必要なのか実感できないという構造です。

2. 数え上げの道具が複数あり、選び方が示されにくいから

樹形図・表・計算（積の法則）——複数の方法がすべて正しいため、どれを選ぶかは自由です。

自由度があること自体は良いのですが、「正しい手順が1つあるはず」と思っている状態では、選択肢の多さが迷いになります。

対策は「2回なら表、それ以外は樹形図」と自分の中で1つに決めること。迷う余地をなくせば速くなります。

3. 数え漏らしが答案では検出できないから

「6通り」と書いたとき、それが正しいか間違いかは数え直さないと分かりません。計算問題と違い、途中式で検算する仕組みがないのです。

だから数え上げには別の検算法が必要です。この記事で示した「全部を分類して足すと総数になるか」という方法が、それにあたります。

和が2から12までの通り数を全部足して36になる——これが確認できれば、7が6通りであることの信頼度が上がります。

【検算】3つの確認法

1. 全部の場合を分類して足す

数えた結果をすべての場合について分類し、合計が総数になるかを見ます。

• さいころ2個 … 和2〜12の通り数の合計が36
• コイン3枚 … 表0〜3枚の通り数の合計が8

合計が合わなければ、どこかで数え漏らしています。

2. 確率の合計が1になるか

すべての場合の確率を足すと必ず1になります。

3. 余事象で確かめる

「〜でない確率」を計算して、足して1になるかを見ます。

コイン3枚で表が2枚の確率が なら、表が2枚でない確率は 。合計1 ○。

余事象のほうが数えやすい問題も多いので、この視点は計算の短縮にもなります。

よくあるミス

ミス1：2つのさいころを区別しない

必ず区別します。区別しないと1つ1つの起こりやすさが変わり、確率が計算できなくなります。

ミス2：3回以上の操作を表で書こうとする

表は2次元まで。3回以上は樹形図です。

ミス3：「選ぶ」問題で順番を区別する

4人から2人選ぶなら6通りで、12通りではありません。ABとBAは同じです。

ミス4：樹形図を途中で省略する

「あとは同じ」と省くと数え漏らしが起きます。最後まで書くか、省いた部分の数を明示してください。

ミス5：分母を間違える

確率の分母はすべての場合の数です。さいころ2個なら36で、6ではありません。

練習問題

1. 大小2つのさいころを投げるとき、目の和が5になる確率を求めなさい。
2. 1で、目の積が偶数になる確率を求めなさい。
3. コインを3枚投げるとき、少なくとも1枚が表になる確率を求めなさい。
4. A、B、C、D、Eの5人から2人を選ぶ方法は何通りか。
5. 4で、選ばれた2人に委員長と副委員長の役をつける方法は何通りか。
6. 大小2つのさいころで、目が同じになる確率を求めなさい。

解答

1. 和が5なのは の4通り。
2. 積が奇数になるのは両方とも奇数のときで 通り。偶数はその余事象で 通り。。余事象を使うのが速い
3. 少なくとも1枚が表＝全部裏でない。全部裏は1通りなので
4. 順番を区別すると 。2人の並べ方2通りで割って 10通り
5. 役職が違うので順番あり。20通り。4の2倍です
6. 同じ目は から までの6通り。

まとめ

• 操作が2回なら表、3回以上なら樹形図。表は2次元までしか書けない
• 「選ぶ」問題は樹形図でアルファベット順に書くと重複を防げる
• 2つのさいころは必ず区別する。同じ確からしさを保つため
• 順番の有無は役割に違いがあるかで判断する
• 検算は分類して合計が総数になるか／確率の合計が1か／余事象と足して1か
• 「少なくとも〜」は余事象で計算すると速い

ここで身につける「もれなく・重複なく数える」という感覚は、高校の数A（順列・組合せ）でそのまま主題になります。中2で扱う数はまだ小さく、樹形図で書き切れる規模です。書き切れるうちに、正確に数える型を作っておく——これが数Aでの負担を決めます。