数学的帰納法の書き方の型｜数B数列

数学的帰納法は型が決まっています。だから書き方だけなら真似できる。

ところが「仮定を使っていない答案」が非常に多い。それでは帰納法になっていません。仮定をどこで使うか——ここが本体です。

結論：3ステップの型

1. (i) のとき成り立つことを示す
2. (ii) のとき成り立つと仮定する
3. (iii) そのとき でも成り立つことを示す

この3つですべての自然数について成り立つと結論できます。

なぜこれで全部言えるのか

ドミノ倒しを思い浮かべてください。

• (i) は1枚目が倒れること
• (iii) はどのドミノも、次のドミノを倒すこと

この2つがそろえばすべて倒れます。1枚目が2枚目を、2枚目が3枚目を——無限に続く。

(iii) だけでは足りません。倒す仕組みがあっても、最初の1枚が倒れなければ何も起きない。(i) を省けない理由がこれです。

最重要： の式に、仮定を登場させる

(iii) でやることは決まっています。

の左辺を、 の左辺が現れる形に変形する

そこに仮定を代入する。これが帰納法の心臓部です。

やってみる1：

(i) のとき

左辺は1、右辺は 。成り立つ ○

(ii) を仮定

(iii) を示す

左辺は

最初の 項は、仮定の左辺そのものです。だから置き換えられます。

ここが「仮定を使った」箇所です。あとは整理するだけ。

これは右辺に を代入した形です。

一致 ○　よって でも成り立ちます。

【検算1】 で確かめます。左辺 、右辺 ○

【検算2】 から への流れ。、 ○

やってみる2：

(i)

左辺1、右辺 ○

(ii) を仮定

(iii)

でくくります。

ここで を因数分解します。

一方、右辺に を代入すると

一致 ○

【検算1】因数分解を確かめます。

○

【検算2】：左辺 、右辺 ○

やってみる3：不等式の帰納法

のとき を示せ。

(i) 出発点は

○　出発点は1とは限りません。示したい範囲の最小値から始めます。

(ii) （）を仮定

(iii)

ここで仮定を使いました。あとは を示せば完成です。

なので 。したがって

よって となり

【検算1】 で確かめます。、。 ○

【検算2】実際の値を並べます。

	4	5	6	7
	16	32	64	128
	16	25	36	49

では等しく、 で成り立つ ○　だから出発点が5なのです。

「仮定を使っていない」答案とは

(iii) でいきなり公式を使って計算してしまうのがそれです。

たとえば を、証明したい公式を使って と書いてしまう。

それは「示したいこと」を使っているので、証明になっていません。

使ってよいのは、(ii) で仮定した の式だけ

【確認】自分の答案を見て、「仮定より」と書いた箇所があるか——なければ帰納法になっていません。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 型が明確なので、書き方の練習で終わりやすいから

(i)(ii)(iii) の3ステップは形式が決まっています。だから答案の形はすぐ真似できる。

ところが中身——仮定をどこで使うかは、問題ごとに考える必要があります。形が整った答案と論理が通った答案は別物ですが、形のほうが目に見えるため、そちらに意識が向きやすい。

2. 「なぜ全部言えるのか」の説明が短くなりやすいから

ドミノの比喩は直感的で分かりやすい反面、厳密には自然数の性質（数学的帰納法の原理）に基づいています。

厳密な議論は高校の範囲を超えるため、「そういうものだ」として受け入れる形になりやすい。比喩だけでも押さえておくと、(i) を省けない理由が納得できます。

3. 出発点が1でない例が少ないから

教科書の例題は から始まるものが中心です。

ところが不等式の証明では からのように途中から始まることがある。(i) で何を示すかが変わりますが、この型は応用として後に置かれやすいため、初見で戸惑います。

【検算】3つの方法

1. 小さい で実際に確かめる

で両辺を計算します。証明の前に必ずやるべきです。

【検算】：、 ○

2. 変形の結果が「 を代入した形」か

右辺の を に置き換えた式と見比べます。

【検算】 と は同じ ○

3. 仮定を使った箇所があるか

「仮定より」と書ける行があるかを確認します。

【検算】 の第1項が仮定 ○

よくあるミス

ミス1：(i) を書かない

1枚目が倒れなければ何も起きません。必須です。

ミス2：仮定を使わずに証明する

帰納法になっていません。「仮定より」の行を作ります。

ミス3：示したいことを使ってしまう

の式は、まだ証明されていません。使えるのは だけ。

ミス4：出発点を間違える

なら (i) は で示します。

ミス5： の範囲を書き忘れる

など、仮定の範囲も明記します。

ミス6：結論を書かない

「よってすべての自然数 で成り立つ」で締めます。

練習問題

1. を帰納法で証明しなさい。
2. 1の (iii) で仮定を使った箇所を指摘しなさい。
3. を帰納法で証明しなさい。
4. 3で使う因数分解 を確かめなさい。
5. のとき を証明しなさい。
6. 5で のときはどうなるか調べなさい。
7. (i) を省いてはいけない理由を説明しなさい。

解答

1. (i) で両辺1。(ii) を仮定。(iii) 。成立
2. を に置き換えたところ
3. (iii) で 。成立
4. ○
5. (i) 。(iii) かつ 。成立
6. 、 で等しい。だから が条件
7. (iii) は「次に伝える」だけで、出発点がなければ何も始まらないから

まとめ

• 型は(i) ／ (ii) を仮定 ／ (iii) を示す
• 根拠はドミノ倒し（最初の1枚＋次を倒す仕組み）
• (iii) では の式が現れる形に変形して、仮定を代入する
• 「仮定より」の行がなければ帰納法になっていない
• 示したいこと（ の式）は使えない
• 出発点は示したい範囲の最小値
• 検算は小さい で確認／ 代入形と比較／仮定を使ったか

数学的帰納法は「無限個の主張を、有限の議論で証明する」方法です。1つずつ確かめることはできないけれど、連鎖の仕組みを1回示せば全部が言える。この発想は、漸化式でも、プログラムの再帰でも、同じ形で現れます。仮定を使う——それが連鎖を作る唯一の方法です。